Переменная теплоёмкость

Количество теплоты, отданное грузом, равно \(c_г m_г (t_2 - t)\). Количество теплоты, полученное жидкостью, равно площади под графиком \(c(t)\) от начальной до конечной температуры, умноженной на её массу.

Тепловой баланс: груз отдаёт \(Q_+ = c_г m_г (t_2 - t)\), которое полностью идёт на нагревание жидкости \(Q_-\). Для малого изменения температуры \(\delta t\) жидкость получает \(c(t_{ср})\,m_ж\,\delta t\), а величина \(c(t_{ср})\,\delta t\) — это площадь под графиком удельной теплоёмкости, поэтому \(Q_-\) находится как площадь под графиком \(c(t)\), умноженная на массу жидкости.

Нагрев жидкости от \(20\,^\circ\)C до \(40\,^\circ\)C требует \(Q_1 = 500\,\text{г}\cdot\dfrac{0{,}3+0{,}4}{2}\,\dfrac{\text{Дж}}{\text{г}\cdot{}^\circ\text{C}}\cdot 20\,^\circ\text{C} = 3500\) Дж, что меньше теплоты, которую отдаёт груз при охлаждении до \(40\,^\circ\)C. Нагрев до \(70\,^\circ\)C потребовал бы больше, чем отдаёт груз. Значит, искомая температура лежит на участке от \(40\,^\circ\)C до \(70\,^\circ\)C. Пусть \(t = 40\,^\circ\text{C} + \tau\); на этом участке \(c(\tau) = 0{,}4 + 0{,}01\,\tau\) (в Дж/(г\(\cdot\,^\circ\)C), \(\tau\) в градусах). Уравнение баланса: \[Q_1 + m_ж\,\frac{c(0) + c(\tau)}{2}\,\tau = m_г c_г (t_2 - t).\] С \(x = \tau/1\,^\circ\)C получаем квадратное уравнение \(x^2 + 410x - 11800 = 0\), положительный корень \(x \approx 27{,}002\), откуда \(t \approx 67\,^\circ\)C.

Погрешность: ошибки в определении \(c\) в точках излома графика не превышают \(5\cdot10^{-3}\) Дж/(г\(\cdot\,^\circ\)C), что даёт около \(1\%\) в величине \(Q\), а значит и около \(0{,}3\,^\circ\)C в \(\tau\). Итог: \(t = (67{,}0 \pm 0{,}3)\,^\circ\)C.