Теплоёмкость, политропические процессы

Запишите удельную теплоёмкость смеси через доли массы атомарного и двухатомного газа. Удельные теплоёмкости удобно выразить через молярную массу одноатомного газа.

Диссоциировала половина молекул: \(\alpha = 0{,}5\).

Пусть \(m\) "— масса всей смеси, \(\alpha\) "— коэффициент диссоциации, тогда \(\alpha m\) "— масса диссоциированных молекул. Удельная теплоёмкость одноатомного газа \(C_1 = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{R}{\mu}\), двухатомного \(C_2 = \dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{R}{2\mu}\), где \(\mu\) "— молярная масса одноатомного газа. Удельная теплоёмкость смеси равна \[C = \alpha C_1 + (1 - \alpha)C_2 = \frac{3}{2}\cdot\frac{R}{\mu}\cdot\alpha + \frac{5}{2}\cdot\frac{R}{2\mu}\cdot(1 - \alpha).\] По условию \(C = 1{,}1\,C_2\). Откуда получаем \(\alpha = 0{,}5\).

Запишите первое начало для малого изменения состояния, выразив \(dT\) через \(dP\) и \(dV\) из уравнения Менделеева — Клапейрона. Азот — двухатомный газ, \(C_V = 5R/2\).

\(4{,}5R\).

Правый сосуд заполнен до краёв, поэтому по мере расширения гелия ртуть выливается. Как давление гелия связано с его объёмом в этом процессе?

Удельная теплоёмкость гелия в данном процессе \(c = \dfrac{2R}{\mu} = 4155\) Дж/(кг\(\cdot^\circ\)C), где \(\mu\)— молярная масса гелия.

Выразите работу газа через изменение температуры: для процесса \(p = \alpha V\) она пропорциональна \(\Delta T\). Тогда процесс имеет постоянную молярную теплоёмкость, и \(Q\) и \(\Delta U\) связаны через неё.

\(Q = 40\) Дж.

Рассмотрим процесс \(p = \alpha V\). Пусть объём увеличился в \(\beta\) раз. Запишем первое начало термодинамики: \[\begin{gather*} Q = \Delta U + A = c_V\Delta T + \frac{1}{2}(\alpha\beta V_0 + \alpha V_0)(\beta V_0 - V_0) = c_V\Delta T + \frac{1}{2}(\beta^2 - 1)\alpha V_0^2 = \\ = c_V\Delta T + \frac{1}{2}R\,\Delta T = \frac{c_V + c_p}{2}\,\Delta T . \end{gather*}\]

Т.е. это процесс с постоянной молярной теплоёмкостью (политропный процесс), равной \(c_\alpha = \dfrac{c_V + c_p}{2} = 2R\). Так как \[\Delta U + Q = (c_\alpha + c_V)\Delta T \;\Rightarrow\; \Delta T = \frac{\Delta U + Q}{c_\alpha + c_V},\] следовательно, \[Q = c_\alpha\Delta T = c_\alpha\cdot\frac{\Delta U + Q}{c_\alpha + c_V} = \frac{2\cdot 70}{3{,}5} = 40\text{ Дж}.\]

По закону Джоуля-Ленца в обоих нагревах газу передано одно и то же количество теплоты. Выразите через него изменения температуры из уравнения состояния.

\(\gamma = \dfrac{V(p_1 - p)}{p_1(V_2 - V)}\).

В обоих случаях в соответствии с законом Джоуля-Ленца газу передано одинаковое количество теплоты \(\Delta Q_1 = \Delta Q_2 = \Delta Q\).

При изохорическом нагревании: \[\Delta Q = \nu c_V\Delta T_1 = \nu c_V\frac{V(p_1 - p)}{\nu R} = c_V\frac{V(p_1 - p)}{R}.\] При изобарическом нагревании: \[\Delta Q = \nu c_p\Delta T_2 = \nu c_p\frac{p_1(V_2 - V)}{\nu R} = c_p\frac{p_1(V_2 - V)}{R}.\] Окончательно получаем: \[\gamma = \frac{c_p}{c_V} = \frac{V(p_1 - p)}{p_1(V_2 - V)} .\]

Запишите первое начало термодинамики для малого изменения: \(C\,dT = C_V\,dT + p\,dV\). Подставьте \(p = \nu RT/V\) и разделите переменные.

В 1{,}4 раза.

Сила давления газа на поршень уравновешена разностью веса поршня и силы пружины, поэтому давление линейно зависит от высоты поршня. Выразите \(pV\) через \(l\) и примените первое начало термодинамики.

1) \(\Delta T = 250\) К;  2) 4.

Левая порция остывает при постоянном давлении (атмосферном) и всё выделяемое тепло отдаёт правой порции. Что это говорит о теплоёмкости правой порции и о виде её процесса?

1) \(c = -\dfrac{5R}{2}\) (в начале и в конце процесса);  2) \(A_\text{г} = -4R\Delta T \approx 1000\text{ Дж}\), \(A_F = p_0\Delta V - A_\text{г} = RT_0\left(\dfrac{T_0^4}{(T_0+\Delta T)^4}-1\right) - A_\text{г} \approx 300\text{ Дж}\).

Изменение состояния газа слева и справа от перегородки происходит таким образом, что температура обеих порций остаётся одинаковой. Газ, располагающийся слева от перегородки, сжимается, поскольку его температура уменьшается при постоянном давлении, отдавая при изменении температуры на \(dT\) количество теплоты \[\delta Q_L = c_p\,dT. \tag{1}\] В формуле (1) считается, что \(dT<0\) и \(\delta Q_L<0\). Теплота (1) отдаётся порции газа в правом отсеке, которая получает количество теплоты, равное \(\delta Q_R = -\delta Q_L = -c_p\,dT\) только от газа в левом отсеке, поэтому теплоёмкость этой порции в любой момент в процессе охлаждения равна \[c = \frac{\delta Q_R}{dT} = \frac{-c_p\,dT}{dT} = -c_p = -\frac{5R}{2}. \tag{2}\] Таким образом, с газом в правом отсеке совершается политропический процесс с показателем политропы \[n = \frac{c-c_p}{c-c_V} = \frac{5R}{4R} = \frac54 .\] Работа газа, находящегося в правом отсеке, может быть найдена из первого начала термодинамики. С учётом полученного значения теплоёмкости (2) имеем формулу \[A_\text{г} = Q - \Delta U = -c_p\Delta T - c_V\Delta T \approx 1000\text{ Дж}, \tag{3}\] где \(\Delta T=-30\) K. Для того, чтобы вычислить работу внешней силы, определим сначала конечный объём порции газа, расположенной справа от перегородки. Это можно сделать двумя способами.

Используя уравнение политропического процесса \(pV^n=\text{const}\), где \(n=\frac54\) — показатель политропы, найденный выше, а также уравнение состояния идеального газа, имеем равенство \(T^4V=\text{const}\), из которого следует формула для объёма в конце процесса охлаждения \[V_1 = V_0\left(\frac{T_0}{T_0+\Delta T}\right)^4 . \tag{4}\] С другой стороны, можно было бы записать соотношение, отражающее первое начало термодинамики для газа, расположенного справа от перегородки: \[-c_p\,dT = c_V\,dT + \frac{RT}{V}\,dV .\] Из этого соотношения после преобразований и подстановки значений теплоёмкостей следует дифференциальное уравнение \[-4\,\frac{dT}{T} = \frac{dV}{V},\] интегрируя которое, получаем равенство \(-4\ln\dfrac{T}{T_0} = \ln\dfrac{V}{V_0}\) и далее формулу (4) для объёма.

Теперь можно перейти к определению работы внешней силы. Поскольку правый поршень перемещается очень медленно, суммарная работа всех сил, действующих на него, равна нулю, следовательно справедливо равенство \(A_\text{г} + A_F - p_0(V_1-V_0)=0\), подставляя в которое объём из формулы (4) и работу газа из формулы (3), получаем ответ \[A_F = RT_0\left(\left(\frac{T_0}{T_0+\Delta T}\right)^4-1\right) - A_\text{г} \approx 300\text{ Дж}.\]

Количество теплоты — это интеграл \(\int c\,dT\), то есть площадь под графиком \(c(T)\) (знак учитывайте). Работу найдите из первого начала, зная изменение внутренней энергии одноатомного газа.

а) «–»;  б) \(|Q| = \dfrac{RT_0}{2} = 0{,}83\) кДж;  в) \(A = 0\);  г) \(T_1 = \dfrac{7T_0}{2} = 700\) К.

Поскольку \(\delta Q = \nu c(T)\,dT\), количество теплоты можно найти, интегрируя теплоёмкость по температуре. Вычисление интеграла, вообще говоря, можно свести к определению площади под графиком. Таким образом, можно получить соотношения для \(Q(x)\) и \(A'(x)\), где \(A'\) — работа внешних сил, а \(x = T/T_0\): \[Q(x) = \frac{RT_0}{2}(x-1)(x-3), \qquad A'(x) = -\frac{RT_0}{2}(x-1)(x-6).\]

Обозначьте показатель процесса \(2 \to 3\) через \(n\), тогда два других — \(n-1\) и \(n+1\). Изотерме соответствует \(n=1\); переберите, какой из трёх процессов может быть изотермой, и используйте условие про наибольшее изменение объёма.

1) \(V_3 = V_1/k\),  \(T_3 = T_1/k\);  2) диаграмма на рисунке: \(n_{31}=0\) (изобара), \(n_{12}=2\), \(n_{23}=1\) (изотерма, \(T_2=\text{const}\)).

Обозначьте показатели политроп через \(n\), \(n+1\), \(n+2\) и запишите связь \(T\) и \(V\) вдоль каждого процесса: \(TV^{n-1} = \text{const}\). Замкнутость цикла по объёму и условие изотермичности одного из процессов дают возможные \(n\).

1) \(V_3 = kV_1\); 2) три возможные \(pV\)-диаграммы показаны на рисунке; 3) температура газа в состоянии 3 может быть равна \(T_3 = \dfrac{T_1}{k^2}\), \(T_3 = \dfrac{T_1}{k}\) или \(T_3 = T_1\) (в порядке следования диаграмм).

КПД — это работа за цикл, делённая на всё подведённое тепло. Для участка с постоянной теплоёмкостью \(c\) из первого начала получите связь \(A\) и \(Q\) и найдите \(c\) на каждом участке графика.

1) \(\eta = \dfrac{A}{Q_+} \approx 8{,}9\,\%\);  2) \(T_{\min} = 120\text{ К}\).

Используя график, находим КПД цикла \[\eta = \frac{A}{Q_+} = \frac{0{,}8\text{ кДж}}{9{,}0\text{ кДж}} = 8{,}9\,\%,\] где \(A\) — работа, совершённая газом за цикл, \(Q_+\) — подведённое к газу количество теплоты.

Найдём теплоёмкость газа в процессе, который описывается уравнением \(A = \dfrac{1}{6}Q\) (прямолинейный участок, проходящий через начало координат). Запишем первое начало термодинамики для процесса с постоянной теплоёмкостью \[c\,\Delta T = c_V\,\Delta T + A,\] откуда получим следующее соотношение \[A = (c - c_V)\,\Delta T = \frac{c - c_V}{c}\,Q.\] Следовательно, \(\dfrac{c_1 - c_V}{c_1} = \dfrac{1}{6}\), откуда имеем равенство \(c_1 = \dfrac{6}{5}c_V = 3R\).

Зная теплоёмкость газа, найдём изменение температуры в этом процессе \[Q = 3R\,\Delta T_1 \quad\Rightarrow\quad \Delta T_1 = \frac{9\text{ кДж}}{3 \cdot 8{,}3\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}} = 361\text{ К}.\] Во втором процессе работа газа равна нулю, поэтому для него справедлива формула \(Q = c_V\,\Delta T_2\), из которой следует \[\Delta T_2 = -\frac{7{,}5\text{ кДж}} {\dfrac{5}{2} \cdot 8{,}3\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}} = -361\text{ К}.\] В начале и в конце третьего процесса с постоянной теплоёмкостью температуры газа равны, следовательно, это изотермический процесс.

Минимальная температура газа в цикле равна \[T_{\min} = T_{\max} + \Delta T_2 = 481\text{ К} - 361\text{ К} = 120\text{ К}.\]

На плоскости \(pV\) точка состояния не может уходить ни на более низкую изотерму, ни на более низкую адиабату: процесс лежит между изотермами и адиабатами, проходящими через состояния 1 и 2. Вспомните, что \(\delta Q = T\,dS\): при каком ходе температуры тепло максимально и минимально?

1) \(V_A^{\max} = 2V\), \(V_A^{\min} = \dfrac{V}{2\sqrt2}\), \(V_B^{\max} = 4\sqrt2\,V\), \(V_B^{\min} = V\);  2) \(Q_A = 5\nu RT\ln2\), \(Q_B = \dfrac52\nu RT\ln2\).

Способ 1. Через любую точку, соответствующую состоянию газа в координатах \(pV\) проходит ровно одна изотерма. Изотермы друг с другом не пересекаются и расположенным выше изотермам соответствуют большие температуры. При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 точка, соответствующая его состоянию, не может перемещаться с «верхних» изотерм на «нижние», так как температура газа не уменьшается, а траектория процесса лежит между изотермами, проходящими через точки 1 и 2.

Если теперь рассмотреть аналогичным образом на той же \(pV\)-плоскости семейство адиабат, то точка, соответствующая состоянию газа не может перемещаться с «верхних» адиабат на «нижние», так как тепло от газа не отводится, следовательно, траектория процесса лежит между адиабатами, проходящими через точки 1 и 2 (см. рис.).

Покажем, что максимальное количество теплоты в таком процессе подводится к газу в случае, если его сначала адиабатически перевести из состояния 1 в состояние 3, затем изотермически из состояния 3 в состояние 2. Рассмотрим цикл \(1-3-2-1\), полагая переход из состояния 2 в состояние 1 произвольным, лежащим внутри криволинейного четырёхугольника \(1-3-2-4-1\). Работа в этом цикле равна разности подведённого на участке \(1-3-2\) количества теплоты \(Q_{132}\) и отведённого при переходе \(2-1\) количества теплоты \(Q_{21}\). Так как работа положительна, \(Q_{132} > Q_{21}\). Так как процесс 21 выбран произвольно (при ограничениях на подвод тепла и изменение температуры, которые оговорены в условии), то величина \(Q_{132}\) соответствует максимальному значению количества теплоты, которое может быть подведено при таком переходе. Аналогично можно показать, что минимально возможному количеству теплоты соответствует процесс, при котором газ сначала изотермически расширяется из состояния 1 в состояние 4, а затем адиабатически сжимается, переходя из состояния 4 в состояние 2.

Способ 2. Приведём анализ характера процессов \(A\) и \(B\) с использованием понятия энтропии. Процессы \(A\) и \(B\) протекают так что, в течение всего процесса температура газа не уменьшается и тепло от газа не отводится, значит энтропия в этих процессах не может уменьшаться. Подведенная теплота и изменение энтропии связаны соотношением: \(\delta Q = T\,dS\).

Процесс \(A\) протекает с максимально возможным подведенным теплом, значит в этом процессе все подведенное тепло должно быть передано при максимально возможной температуре. Для этого систему нужно перевести без подвода тепла в состояние с максимально возможной температурой, что соответствует процессу, при котором газ сначала адиабатически сжимается из состояния 1 в состояние 3, а затем изотермически расширяется, переходя из состояния 3 в состояние 2. Процесс \(B\) протекает с минимально возможным подведенным теплом, значит в этом процессе все подведенное тепло должно быть передано при минимально возможной температуре, после чего в состояние 2 систему нужно перевести без подвода тепла. Это соответствует процессу, при котором газ сначала изотермически расширяется из состояния 1 в состояние 4, а затем адиабатически сжимается, переходя из состояния 4 в состояние 2.

Перейдём к вычислению объёмов, соответствующих точкам 3 и 4. Уравнение, связывающее переменные \(T\) и \(V\) в адиабатическом процессе: \[TV^{\gamma-1} = \text{const},\] где \(\gamma\) — показатель адиабаты. Для одноатомного идеального газа \(\gamma = 5/3\) и \(TV^{2/3} = \text{const}\). Отсюда для процесса \(A\): \[TV^{2/3} = 2T\left(V_A^{\min}\right)^{2/3}, \quad V_A^{\min} = \frac{V}{2\sqrt2}.\] Очевидно, что \(V_A^{\max} = 2V\). Для процесса \(B\): \[2T\cdot(2V)^{2/3} = T\cdot\left(V_B^{\max}\right)^{2/3}, \quad V_B^{\max} = 4\sqrt2\,V.\] Разумеется \(V_B^{\min} = V\).

Теплота в этих процессах подводится на изотермах. Количество теплоты в изотермическом процессе равно работе газа. Для процесса \(A\): \[Q_A = 2\nu RT\ln\frac{V_2}{V_3} = 5\nu RT\ln2.\] Для процесса \(B\):

\[Q_B = 2\nu RT\ln\frac{V_4}{V_1} = \frac52\nu RT\ln2.\]

Если \(dU = -\delta A_\text{газа}\), то \(\delta Q = 0\) — это адиабата; если \(dU = \delta A_\text{газа}\), то \(\delta Q = 2\,dU\) — политропа. Запишите уравнения обоих процессов в виде \(TV^n = \text{const}\); в логарифмических координатах они станут прямыми.

1) \(T_2 = 4T_0\);  2) параллелограмм с вершинами \(1\,(-3;\,4)\), \(2\,(0;\,2)\), \(3\,(3;\,-2)\), \(4\,(0;\,0)\) (по оси абсцисс \(\log_2\frac{V}{V_0}\));  3) \(\eta = \dfrac{1}{2}\).

Первый метод

В процессах \(2-3\) и \(4-1\) подведённое к газу количество теплоты равно нулю, поэтому эти процессы — адиабатические, их уравнение в координатах \((T, V)\) имеет вид \[TV^{1/3} = \text{const}.\] Получим уравнение процессов \(1-2\) и \(3-4\). Пусть \(\Delta T\), \(\Delta V\) — бесконечно малые изменения температуры и объёма, тогда изменение внутренней энергии \[\Delta U = 3\nu R\Delta T,\] а работа газа \(\delta A = p\Delta V\), поэтому для процесса выполняется соотношение \[3\nu R\Delta T = \frac{\nu RT}{V}\Delta V.\] Сократив общие множители и разделяя переменные, получим \[3\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta V}{V},\] откуда после интегрирования найдём уравнение процесса \[TV^{-1/3} = \text{const}.\] Используя уравнение адиабаты для процесса \(4-1\), найдём объём газа в точке \(1\): \[T_1V_1^{1/3} = T_4V_4^{1/3},\] откуда с учётом значения температур \(T_1 = 2T_4 = 2T_0\) получим \(V_1 = V_0/8\). Аналогично с помощью уравнения процесса \(3-4\) \[T_3V_3^{-1/3} = T_4V_4^{-1/3},\] получим \(V_3 = 8V_0\). Запишем также уравнения для процессов \(1-2\) и \(2-3\): \[T_1V_1^{-1/3} = T_2V_2^{-1/3}, \qquad T_3V_3^{1/3} = T_2V_2^{1/3}.\] Разделив второе уравнение на первое и учтя равенство \(T_1 = T_3\): \[V_2^{2/3} = V_3^{1/3}V_1^{1/3} = V_0^{2/3},\] а значит, \(V_2 = V_0\). Тогда температура \(T_2 = T_1V_1^{-1/3}V_2^{1/3} = 4T_0\).

Второй метод

Будем решать в терминах \(TS\). В процессах \(2-3\) и \(4-1\) подведённое к газу количество теплоты равно нулю, поэтому эти процессы — адиабатические, в них сохраняется энтропия, поэтому \[S_2 = S_3 \quad\text{и}\quad S_1 = S_4.\] Найдём изменение энтропии в процессах \(1-2\) и \(3-4\): \[dS = \frac{\delta Q}{T} = \frac{2\,dU}{T} = 2\nu C_V\frac{dT}{T},\] \[S_2 - S_1 = 2\nu C_V\ln\frac{T_2}{T_1} = 2\nu C_V\ln\frac{T_3}{T_4} = S_3 - S_4.\] Получаем соотношение на температуры: \[\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4}, \qquad T_2 = \frac{T_1T_3}{T_4}, \qquad T_2 = 4T_0.\]

Уравнение адиабаты в координатах \((p, V)\) имеет вид \(pV^{4/3} = \text{const}\), а значит, в логарифмических координатах график процесса — прямая \[\log_2\frac{p}{p_0} + \frac{4}{3}\log_2\frac{V}{V_0} = \text{const}.\] Аналогично уравнение процессов \(1-2\) и \(3-4\) в координатах \((p, V)\) получается из найденного в предыдущем пункте с помощью уравнения состояния \(pV/T = \text{const}\): \(pV^{2/3} = \text{const}\); в логарифмических координатах также получим прямые \[\log_2\frac{p}{p_0} + \frac{2}{3}\log_2\frac{V}{V_0} = \text{const}.\] Таким образом, достаточно вычислить координаты точек \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Объёмы уже найдены в предыдущем пункте. С помощью уравнения состояния получим \(p_1 = 16p_0\), \(p_2 = 4p_0\), \(p_3 = p_0/4\).

Тогда координаты граничных точек процессов в координатах \(\log_2\dfrac{V}{V_0}\) (абсцисса) и \(\log_2\dfrac{p}{p_0}\) (ордината) равны: \(1\,(-3,\ 4)\), \(2\,(0,\ 2)\), \(3\,(3,\ -2)\), \(4\,(0,\ 0)\). График процесса имеет вид параллелограмма.

Первый метод

На адиабатах теплота не отводится и не подводится. Для оставшихся двух процессов подведённое тепло \(Q = \Delta U + A\), причём, поскольку \(A = \Delta U\), выполняется \(Q = 2\Delta U = 2C_V\Delta T\), где \(C_V\) — теплоёмкость газа при постоянном объёме. Тогда на участке \(1-2\) подводится тепло \(Q_+ = 2C_V(T_2 - T_1) = 4C_VT_0\), а на участке \(3-4\) отводится тепло \(Q_- = 2C_V(T_3 - T_4) = 2C_VT_0\), поэтому КПД \[\eta = \frac{Q_+ - Q_-}{Q_+} = \frac{1}{2}.\]

Второй метод

Найдём зависимость \(T(S)\) для процессов \(1-2\) и \(3-4\): \[T_{3-4}(S) = T_4\exp\left(\frac{S - S_4}{2\nu C_V}\right),\] \[T_{1-2}(S) = T_1\exp\left(\frac{S - S_1}{2\nu C_V}\right) = 2T_{3-4}(S).\] Подставим в выражение для КПД: \[\eta = \frac{\int_{S_1}^{S_2} T_{1-2}\,dS - \int_{S_4}^{S_3} T_{3-4}\,dS}{\int_{S_1}^{S_2} T_{1-2}\,dS} = \frac{2\int_{S_4}^{S_3} T_{3-4}\,dS - \int_{S_4}^{S_3} T_{3-4}\,dS}{2\int_{S_4}^{S_3} T_{3-4}\,dS} = \frac{1}{2}.\]

Поршень невесом, поэтому давление газа постоянно и равно атмосферному: процесс изобарический. Работа газа выражается через \(\Delta V\), а изменение внутренней энергии "— через \(c_V\) и \(\Delta T\).

\(\Delta V = 1\) л; \(c_V = 2R\).

Процесс изобарический, поэтому работа газа равна \(P_A\Delta V\). Из первого начала термодинамики следует: \[Q = \Delta U + P_A\Delta V \;\Rightarrow\; \Delta V = \frac{Q - \Delta U}{P_A} = 1\text{ л}.\] Изменение внутренней энергии равно: \[\Delta U = \nu c_V\Delta T = c_V\frac{P_A\Delta V}{R} \;\Rightarrow\; c_V = \frac{\Delta U\,R}{P_A\Delta V} = 2R .\]

Теплоёмкость пара на кривой насыщения найдите из первого начала, подставив \(\mathrm{d}p/\mathrm{d}T\) из данного соотношения. При адиабатическом сжатии сравните, во сколько раз растёт давление сухого пара и давление насыщенного пара при том же нагреве; при расширении пар остаётся насыщенным и частично конденсируется — теплота конденсации идёт на нагрев.

1) \(C_\text{нас} = R(4 - \alpha) \approx -93{,}9\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\);  2) \(\Delta T_1 = \beta T_0/3 \approx 5{,}6\text{ К}\);  3) \(\Delta T_2 = -T_0\cdot\dfrac{\beta}{\alpha - 1 + (4 - \alpha)RT_0/(\mu L)} \approx -1{,}2\text{ К}\).

1. Запишем первое начало термодинамики для вещества под поршнем: \[\delta Q = \mathrm{d}U + \delta A = \mathrm{d}U + p\,\mathrm{d}V = \mathrm{d}U + \mathrm{d}(pV) - V\,\mathrm{d}p.\] Далее используем выражение для внутренней энергии идеального газа и уравнение Менделеева–Клапейрона: \[U = \nu C_VT \qquad pV = \nu RT.\] Поскольку вещество в сосуде целиком остаётся в газообразной фазе: \[\mathrm{d}(pV) = \nu R\,\mathrm{d}T.\] Тогда получим: \[\delta Q = \nu C_V\,\mathrm{d}T + \nu R\,\mathrm{d}T - V\,\mathrm{d}p = \nu C_p\,\mathrm{d}T - V\,\mathrm{d}p,\] где \(C_p = C_V + R = 4R\) — молярная теплоёмкость идеального многоатомного газа при постоянном давлении.

Для теплоёмкости идеального газа, выраженной через параметры \((p, T)\), имеем: \[C = \frac{\delta Q}{\mathrm{d}T} = \nu C_p - V\cdot\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \nu C_p - \frac{\nu RT}{p}\cdot\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \nu\left(C_p - R\cdot\frac{\varepsilon_p}{\varepsilon_T}\right).\] Тогда молярная теплоёмкость насыщенного пара равна: \[C_\text{нас} = C_p - \alpha R = R(4 - \alpha) = -93{,}9\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}.\]

2. При изменении объёма сосуда возможны два принципиально различных физических процесса: 1) если относительное изменение давления водяного пара под поршнем меньше относительного изменения давления насыщенного пара при том же относительном изменении температуры, т. е. если \(\varepsilon_p < \varepsilon_{p(\text{н.п})} = \alpha\varepsilon_T\), — вещество в сосуде целиком остаётся в газообразном состоянии, а пар перестаёт быть насыщенным; 2) если описанное условие соотношения относительных изменений давлений при одинаковом относительном изменении температуры не выполняется — пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться.

Получим относительное изменение давления пара под поршнем, считая, что он целиком остаётся в газообразном состоянии. Из уравнения Менделеева–Клапейрона получим: \[pV = \nu RT \;\Rightarrow\; p\,\mathrm{d}V + V\,\mathrm{d}p = \nu R\,\mathrm{d}T = \frac{pV\,\mathrm{d}T}{T} \;\Rightarrow\; \varepsilon_p + \varepsilon_V = \varepsilon_T.\] Запишем первое начало термодинамики: \[\mathrm{d}U = -\delta A \;\Rightarrow\; \nu C_V\,\mathrm{d}T = -p\,\mathrm{d}V = -\frac{\nu RT\,\mathrm{d}V}{V} \;\Rightarrow\; \varepsilon_T = -\frac{R\varepsilon_V}{C_V}.\] Обратим внимание, что \(\varepsilon_T > 0\), поскольку \(\varepsilon_V < 0\). Далее находим: \[\varepsilon_p = \varepsilon_T - \varepsilon_V = \varepsilon_T\left(1 + \frac{C_V}{R}\right) = \frac{C_p\varepsilon_T}{R} = 4\varepsilon_T < \alpha\varepsilon_T.\] Таким образом, всё вещество под поршнем остаётся газообразным. Тогда полученное нами выражение для \(\varepsilon_T\) является применимым, и температура увеличивается на величину, равную: \[\Delta T = T_0\cdot\frac{\beta}{C_V/R} = \frac{\beta T_0}{3} \approx 5{,}6\text{ К}.\]

3. Из решения второго пункта следует, что при увеличении объёма без конденсации температура в сосуде должна уменьшиться. Тогда пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться, поскольку иначе давление пара в сосуде станет выше давления насыщенного пара при той же температуре, что невозможно.

Продифференцируем уравнение Менделеева–Клапейрона с учётом изменения газообразного количества вещества в сосуде: \[pV = \nu RT \;\Rightarrow\; \varepsilon_p + \varepsilon_V = \varepsilon_\nu + \varepsilon_T \;\Rightarrow\; \varepsilon_T(\alpha - 1) + \varepsilon_V = \varepsilon_\nu,\] поскольку в рассматриваемом процессе \(\varepsilon_p = \alpha\varepsilon_T\).

Из первого начала термодинамики: \[\delta Q_\text{нас} + L\,\mathrm{d}m = 0,\] где \(Q_\text{нас}\) — количество теплоты, полученное неконденсирующимся насыщенным паром, а \(\mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}\nu\) — изменение массы водяного пара.

Поскольку состояние неконденсирующегося водяного пара в координатах \((p, T)\) описывается кривой фазового равновесия, его теплоёмкость равна теплоёмкости \(C_\text{нас}\), полученной при решении первого пункта, поэтому для количества теплоты \(\delta Q_\text{нас}\) имеем: \[\delta Q_\text{нас} = C_\text{нас}\,\mathrm{d}T.\]

Примечание: Отметим, что формула \[\delta Q_\text{нас} = C_V\,\mathrm{d}T + p\,\mathrm{d}V,\] где \(\mathrm{d}V\) — изменение объёма сосуда, не является правильной, поскольку вследствие фазового перехода величина \(\mathrm{d}V\) не равна изменению объёма, занимаемого неконденсирующимся водяным паром.

Возвращаясь к первому началу термодинамики для системы, получим: \[\nu C_\text{нас}\,\mathrm{d}T + \lambda\mu\,\mathrm{d}\nu = 0 \;\Rightarrow\; \varepsilon_\nu = -\frac{C_\text{нас}T\varepsilon_T}{\mu\lambda}.\]

Отсюда: \[\varepsilon_T(\alpha - 1) + \varepsilon_V = -\frac{C_\text{нас}T\varepsilon_T}{\mu\lambda}.\] Окончательно находим: \[\Delta T = -T_0\cdot\frac{\beta}{\alpha - 1 + \dfrac{(C_p - \alpha R)T_0}{\mu\lambda}} = -T_0\cdot\frac{\beta}{\alpha - 1 + \dfrac{(4 - \alpha)R}{\mu\lambda}} \approx -1{,}2\text{ К}.\]

Если \(p/n = kT\) постоянно, то участок — изотерма; а там, где \(p \propto V\), температура монотонна, так что экстремальные температуры достигаются в вершинах. Найдите теплоёмкость газа в процессе \(p \propto V\) и выразите КПД через отношение объёмов на изотермах.

1) \(\beta_{4-1} = 45^\circ\), \(\beta_{2-3} = \arctan 2 \approx 63{,}4^\circ\);  2) см. график в решении;  3) \(\eta = \dfrac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln(\tan(\delta+\alpha)/\tan\delta)}\right)}\), где \(\delta\) — угол наклона \(3-4\); \(\eta \geqslant \dfrac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}}\right)}\), сверху: при \(\alpha \geqslant \pi/4\) \(\eta < 1/2\), при \(\alpha < \pi/4\) \(\eta \leqslant \dfrac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\tan(\pi/4+\alpha)}\right)}\);  4) \(0{,}234 \leqslant \eta < 0{,}5\);  5) \(0{,}134 \leqslant \eta \leqslant 0{,}153\).

На участках \(1-2\) и \(3-4\) давление и объём прямо пропорциональны друг другу, поэтому вдоль этих участков они одновременно увеличиваются или уменьшаются. Следовательно, температура монотонно изменяется и достигает минимального и максимального значения на концах этих участков. Участки цикла (\(2-3\) и \(4-1\)) являются изотермами, так как \(p = nkT\), поэтому \(p/n = \text{const}\) только при \(T = \text{const}\). Так как точка \(2\) имеет наибольшую ординату, то участок \(2-3\) является изотермой с наибольшей температурой, а \(4-1\) — с наименьшей. Обозначим эти температуры \(T_{\max}\) и \(T_{\min}\) соответственно. По условию мы знаем КПД цикла Карно, построенного между этими температурами: \[\eta_K = 0{,}5 = \frac{T_{\max} - T_{\min}}{T_{\max}}.\] Получим соотношение между максимальной и минимальной температурами: \(T_{\max} = 2T_{\min}\). Точка \((1{,}1)\) лежит на участке \(4-1\), поэтому \[p_0 = \frac{N_0}{V_0}\,kT_{\min}.\] Выражая температуру, получаем: \[T_{\min} = \frac{p_0V_0}{N_0k} = \frac{p_0}{n_0k}; \qquad T_{\max} = \frac{2p_0}{n_0k}.\] Найдём коэффициент наклона графика зависимости \(p/p_0\) от \(n/n_0\) для изотермы с температурой \(T\): \[p = nkT, \qquad \frac{p}{p_0} = \frac{n_0kT}{p_0}\cdot\frac{n}{n_0}.\] Коэффициент наклона является тангенсом соответствующего угла: \[\tan\beta = \frac{n_0kT}{p_0}.\] Подставим найденные ранее температуры и получим ответ. Для \(4-1\): \(\tan\beta_{4-1} = 1\), или \(\beta_{4-1} = 45^\circ\). Для \(2-3\): \(\tan\beta_{2-3} = 2\), или \(\beta_{2-3} = \arctan 2 = 63{,}4^\circ\).

Заметим, что на \(4-1\) из найденного ранее значения температуры получаем \(T/T_0 = 1\), аналогично на \(2-3\) имеем \(T/T_0 = 2\). Соответственно точка \((1{,}1)\) принадлежит участку \(4-1\) и в такой системе координат. Теперь проанализируем вид участков \(1-2\) и \(3-4\). На них давление и объём пропорциональны: \[\frac{p}{p_0} \propto \frac{V}{V_0} = \frac{n_0}{n},\] так как \(nV = n_0V_0 = N_0\). Тогда \[n = \frac{p}{kT} \propto \frac{V}{T} \propto \frac{1}{nT}, \qquad n^2 \propto \frac{1}{T}.\] Таким образом, на этих участках имеем \[\frac{n}{n_0} \propto \sqrt{\frac{T_0}{T}}.\] Построим качественно график.

Для удобства нарисуем наш цикл в координатах \(p/p_0 - V/V_0\).

Заметим, что \(1-2\) и \(3-4\) удовлетворяют уравнению \(pV^{-1} = \text{const}\), то есть это политропы. Найдём теплоёмкость в таком процессе. \[\delta Q = dU + \delta A = \nu C_V\,dT + p\,dV,\] \[p \propto V \Rightarrow \frac{dp}{p} = \frac{dV}{V},\] \[pV = \nu RT \Rightarrow \frac{dT}{T} = \frac{dp}{p} + \frac{dV}{V} = 2\frac{dV}{V} \Rightarrow \frac{dV}{V} = \frac{dT}{2T},\] \[p\,dV = \frac{pV\,dT}{2T} = \frac{\nu RT\,dT}{2T} = \frac{\nu R}{2}\,dT,\] \[\delta Q = \nu C_V\,dT + \frac{\nu R}{2}\,dT = \nu\left(C_V + \frac{R}{2}\right)dT.\] Учитывая, что газ двухатомный, получаем, что в этих процессах его теплоёмкость \(C = 3\nu R\). Таким образом, можем найти теплоту в процессах \(1-2\) и \(3-4\): \[Q_{1-2} = -Q_{3-4} = C(2T_0 - T_0) = 3\nu RT_0.\] Обозначим угол между \(3-4\) и осью абсцисс \(\delta\). Найдём значения объёма газа в вершинах цикла. Точка \(4\): \[\frac{p_4}{p_0}\cdot\frac{V_4}{V_0} = \left(\frac{V_4}{V_0}\right)^2\tan\delta = \frac{T_4}{T_0} = 1, \qquad \frac{V_4}{V_0} = \sqrt{\frac{1}{\tan\delta}}.\] Аналогично получим остальные значения: \[\frac{V_3}{V_0} = \sqrt{\frac{2}{\tan\delta}}, \quad \frac{V_1}{V_0} = \sqrt{\frac{1}{\tan(\delta+\alpha)}}, \quad \frac{V_2}{V_0} = \sqrt{\frac{2}{\tan(\delta+\alpha)}}.\] Найдём теплоты на участках \(4-1\) и \(2-3\). Так как это изотермы, то они равны соответствующим работам: \[Q_{2-3} = \int_{V_2}^{V_3} p\,dV = 2\nu RT_0\int_{V_2}^{V_3}\frac{dV}{V} = 2\nu RT_0\ln\frac{V_3}{V_2},\] \[Q_{2-3} = 2\nu RT_0\ln\left(\sqrt{\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}}\right) = \nu RT_0\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right).\] Аналогично для участка \(4-1\): \[Q_{4-1} = -\frac{\nu RT_0}{2}\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right).\] Заметим, что работа в цикле \(A = Q_{1-2} + Q_{2-3} + Q_{3-4} + Q_{4-1}\). При этом тепло подводится только на участках \(1-2\) и \(2-3\), поэтому \(Q_+ = Q_{1-2} + Q_{2-3}\). Таким образом, КПД цикла: \[\eta = \frac{\frac{\nu RT_0}{2}\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right)} {\nu RT_0\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right) + 3\nu RT_0} = \frac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right)}\right)}.\] Найдём, как \(\dfrac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\) зависит от \(\delta\). \[\frac{d}{d\delta}\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right) = \frac{\frac{\tan\delta}{\cos^2(\delta+\alpha)} - \frac{\tan(\delta+\alpha)}{\cos^2\delta}}{\tan^2\delta} = \frac{\sin\delta\cos\delta - \sin(\delta+\alpha)\cos(\delta+\alpha)} {\sin^2\delta\cos^2(\delta+\alpha)}.\] Заметим, что производная обращается в \(0\) при \[\sin\delta\cos\delta - \sin(\delta+\alpha)\cos(\delta+\alpha) = 0,\] \[\sin 2\delta = \sin 2(\delta+\alpha), \qquad 2\delta = \pi - 2(\delta+\alpha), \qquad \delta = \frac{\pi}{2} - (\delta+\alpha), \qquad \delta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}.\] Заметим, что это соответствует ситуации, когда \(1-2\) и \(3-4\) симметричны относительно прямой \(p/p_0 = V/V_0\). Таким образом, исследуемая функция уменьшается от бесконечности при \(\delta = 0\) до минимального значения в этот момент, а потом возрастает к бесконечности при \(\alpha + \delta = \pi/2\). С точки зрения КПД это означает, что в симметричном случае \(\delta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\) он минимален, а максимален или при максимальном значении, или при минимальном значении \(\delta\). Найдём ограничения на \(\delta\). Из физических соображений понятно, что \(\delta > 0\) и \(\alpha + \delta < \pi/2\). Также из условия следует, что точка \((1{,}1)\) лежит между прямыми, содержащими \(1-2\) и \(3-4\), поэтому \(\alpha + \delta > \pi/4\) и \(\delta < \pi/4\). Суммарно получаем: \[\max\left(0, \frac{\pi}{4} - \alpha\right) \leqslant \delta \leqslant \min\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} - \alpha\right).\] Заметим, что в любом случае симметричный случай реализуется, поэтому минимум КПД при \(\delta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\): \[\eta \geqslant \frac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\left(\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}\right)}\right)}.\] Максимум КПД зависит от граничных значений \(\delta\). Если \(\alpha \geqslant \pi/4\), то отношение тангенсов может быть сколь угодно большим и соответственно ограничение на КПД: \(\eta < 1/2\).

В ином случае граничные значения \(\delta\), равные \(\pi/4 - \alpha\) и \(\pi/4\), дают одинаковый КПД, так как \(\tan(\alpha + \pi/4) = 1/\tan(\pi/4 - \alpha)\), и ограничение на КПД: \[\eta \leqslant \frac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\left(\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}\right)}\right)}.\]

При \(\alpha \geqslant \pi/4\): \[\frac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\left(\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}\right)}\right)} \leqslant \eta < \frac{1}{2}.\] При \(\alpha < \pi/4\): \[\frac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\left(\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}\right)}\right)} \leqslant \eta \leqslant \frac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\right)}\right)}.\] В пункте 4 \(\alpha > \pi/4\). Подставим значение угла в соответствующие формулы: \[0{,}234 \leqslant \eta < 0{,}5.\] В пункте 5 \(\alpha < \pi/4\). Подставим значение угла в соответствующие формулы: \[0{,}134 \leqslant \eta \leqslant 0{,}153.\]