Теплоёмкость кристаллов

У каждого атома кристалла три колебательные степени свободы, и на каждую приходится энергия \(kT\) (с учётом потенциальной части). Умножьте на число Авогадро и найдите молярную теплоёмкость.

\(C_\mu=3R\) (закон Дюлонга — Пти); по таблице \(R\approx(8{,}5\pm0{,}4)\ \text{Дж/(моль·К)}\).

10-1. Каждый атом в кристалле имеет три колебательных степени свободы. Следовательно, энергия колебательного движения одного атома равна \(3kT\), а энергия одного моля атомов \(3kTN_A = 3RT\), где \(N_A\) - число Авогадро. Таким образом, молярная теплоемкость кристалла \(C_\mu = 3R\). Заметим, что данный факт был установлен экспериментально еще в первой половине XIX века и носит название закона Дюлонга-Пти. Данный закон не учитывает изменение потенциальной энергии взаимодействия атомов кристаллической решетки, которая мало изменяется при изменении температуры.

Проверим справедливость закона Дюлонга-Пти для имеющихся данных. Для этого рассчитаем молярные теплоемкости металлов по формуле \(C_\mu = C\mu\), и определим примерное значение газовой постоянной \(R' = C_\mu / 3\)

Таблица.

Как видно из проведенных расчетов, молярная теплоемкость действительно оказывается примерно одинаковой для всех металлов. Для более точной оценки газовой постоянной вычислим среднее значение величин \(R'\), а также оценим погрешность найденного значения.

\[\overline{R} = \frac{\sum R'_i}{n} \approx 8{,}48 \text{ Дж} / (\text{моль} \cdot \text{К});\]

\[\Delta R \approx 2 \sqrt { \frac { \sum ( R _ { \ i } ^ { \prime } - \overline { { R } } ) ^ { 2 } } { n ( n - 1 ) } } \approx 0 { , } 3 5 \, .\]

Таким образом получим окончательную оценку

\[\boxed { \overline { R } \approx ( 8{,}5 \pm 0{,}4 ) \ \text{Дж} / \left( \text{моль} \cdot \text{К} \right) }\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.