Кольцо на стержне

Положение равновесия кольца на горизонтальном стержне определяется углом трения: \(\operatorname{tg}\varphi_0=\mu\). На вертикальном стержне сила трения покоя должна уравновешивать силу тяжести, а нормальная реакция создаёт центростремительное ускорение.

\(\mu\approx0{,}34\); \(V>\dfrac{2R-r}{R-r}\sqrt{\dfrac{g(R-r)}{\mu}}\approx3{,}5\text{ м/с}\).

10-5. Из графика зависимости угла поворота кольца от времени видим, что центр кольца совершает затухающие колебания.

Найдем положения равновесия кольца, в котором сумма сил, действующих на кольцо равна нулю. Это условие имеет вид

\[N = mg \cos \varphi\]

\[F_{\text{тр}} = mg \sin \varphi\tag{1}\]

Учитывая, что \(F_{\text{тр}} = \mu N\), находим положение равновесия кольца \(\varphi_0 = \operatorname{arctg} \mu\), или \(\mu = \operatorname{tg} \varphi_0\). Из графика закона движения находим \(\varphi_0 \approx 0{,}33\), \(\mu \approx 0{,}34\).

Рассмотрим теперь движение кольца на вертикальном стержне. Для того чтобы кольцо вращалось на постоянной высоте, необходимо, чтобы оно вращалось на стержне без проскальзывания - только в этом случае сила трения будет направлена вертикально вверх и сможет уравновесить силу тяжести.

Центр кольца в такой ситуации движется по окружности радиуса \((R - r)\), поэтому сила нормальной реакции

\[N = m \frac{v_0^2}{R - r},\tag{2}\]

где \(v_0\) - скорость центра кольца. Сила трения (которая в данном случае является силой трения покоя), может принимать значения

\[F_{\text{тр}} < \mu N.\tag{3}\]

Если кольцо остается на неизменной высоте, то выполняется условие

\[F_{\text{тр}} = mg.\tag{4}\]

Из выражений (2)-(3) находим \(v_0 > \sqrt{\frac{g(R - r)}{\mu}}\), а скорость крайней (по отношению к стержню)

точки кольца, может быть найдена из простых геометрических построений, учитывающих, что кольцо вращается относительно оси стержня:

\[V = v_0 \frac{2R - r}{R - r}.\tag{5}\]

Таким образом, окончательный ответ данной задачи определяется по формуле

\[V > \frac{2R - r}{R - r} \sqrt{\frac{g(R - r)}{\mu}} \approx 3{,}5\,\text{м/с}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.