Платок из-под стакана

Стакан должен не дойти до края стола за время, пока платок выдёргивается. Проверьте также, что он успевает соскользнуть с платка, и выберите более сильное из двух условий.

\(v_{\min}=l\sqrt{\dfrac{\mu g}{2x}}\).

Трюк не удастся, если стакан упадет со стола. Для успеха необходимо, чтобы за время движения платка стакан не успел достичь края стола. Платок движется с постоянной скоростью \(v_{0}\), следовательно время его движения \(t=\frac{l}{v_{0}}\). Стакан движется под действием силы трения, поэтому если скорость стакана меньше скорости платка, то он будет двигаться с постоянным ускорением \(a=\mu g\). Чтобы он не достиг края стола должно выполняться условие

\[\frac{a t^{2}}{2}=\frac{\mu g l^{2}}{2 v_{0}^{2}} < x\tag{1}\]

из которого следует

\[v_{0}>\sqrt{\frac{\mu g l^{2}}{2 x}} .\tag{2}\]

Кроме того, стакан за время движения не должен достичь скорости платка - в противном случае он будет двигаться с постоянной скоростью и упадет со стола. Обозначим \(t_{1}\) - время, за

которое стакан достигнет скорости платка. Это время легко определить из закона равноускоренного движения стакана

\[a t_{1}=\mu g t_{1}=v_{0} ; \quad \Rightarrow \quad t_{1}=\frac{v_{0}}{\mu g} .\tag{3}\]

За это время стакан должен успеть соскочить с платка, что произойдет, если разность смещений платка и стакана будет меньше длины части платка за стаканом

\[v_{0} t_{1}-\frac{\mu g t_{1}^{2}}{2} < l-x .\tag{4}\]

Из соотношений (3)-(4) находим еще одно условие, налагаемое на скорость платка:

\[v_{0}>\sqrt{2 \mu g(l-x)} .\tag{5}\]

Так как одновременно должны выполняться неравенства (2) и (5), следует выбрать большую из скоростей, задаваемых этими неравенствами. Определим при каких значениях \(x\) следует выбрать неравенство (2), для чего рассмотрим неравенство

\[\sqrt{\frac{\mu g l^{2}}{2 x}}>\sqrt{2 \mu g(l-x)} .\]

Путем очевидной цепочки преобразований эта неравенство приводится к виду

\[l^{2}-4 l x+4 x^{2}=(l-2 x)^{2} \geq 0 .\]

Из которого следует, что при выполнении неравенства (2) будет выполняться и неравенство (4). Таким образом окончательный ответ задачи: скорость платка должна удовлетворять неравенству (2).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.