Светоиндуцированный дрейф

Только атомы, у которых доплеровский сдвиг компенсирует отстройку частоты, поглощают свет и возбуждаются. Возбуждённые атомы «выбывают» из дрейфа из-за малой длины пробега, и остальные получают противоположную им среднюю скорость.

4.1) \(r_n=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}\,n^2\); \(r_1\approx5{,}3\cdot10^{-11}\) м, \(r_2\approx2{,}1\cdot10^{-10}\) м, \(r_{1000}\approx5\cdot10^{-5}\) м;  4.2) \(\Lambda\approx\dfrac{kT}{\pi(r_1+r_0)^2p}\approx2\cdot10^{-6}\) м, при переходе в первое возбуждённое состояние уменьшается примерно в 4 раза;  4.3) \(\nu_0\approx2{,}4\cdot10^{15}\ \text{с}^{-1}\);  4.5) \(V^*=c\,\dfrac{\Delta\nu}{\nu_0}\approx1{,}3\cdot10^3\) м/с;  4.6) \(f\,\delta V\approx0{,}009\), доля возбуждённых атомов \(\xi\approx9\cdot10^{-5}\);  4.7) \(V_{\text{др}}=-\xi V^*\approx-0{,}1\) м/с (против скорости поглощающих атомов);  4.8) \(V_{\text{др}}\approx-\eta\,\delta V\,c\,\dfrac{\Delta\nu}{\nu_0}\,f\!\left(c\,\dfrac{\Delta\nu}{\nu_0}\right)\), график \(\propto -xf(x)\).

Тема этой задачи предложена студентом 1 курса физического факультета БГУ Юрием Дежко.

4.1. Записывая уравнение динамики для движения электрона (все обозначения стандартные)

\[\frac { m v ^ { 2 } } { r } = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r ^ { 2 } }\tag{1}\]

и правило квантования \(m r v = n \hbar\), находим радиусы боровских орбит

\[r _ { n } = { \frac { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } \hbar ^ { 2 } } { m e ^ { 2 } } } n ^ { 2 } = r _ { 1 } n ^ { 2 } .\tag{2}\]

где \(r _ { 1 } \approx 5 { , } 3 \cdot 1 0 ^ { - 1 1 } \, \text{м}\) - радиус первой боровской орбиты. В первом возбужденном состоянии \(r _ { 2 } \approx 2 { , } 1 \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } \, \text{м}\), для \(n = 1 0 0 0\) \(r \approx 5 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, \text{м}\), то есть порядка \(0 { , } 0 5 \, \text{мм}\).

4.2 Оценку длины свободного пробега \(\varLambda\) можно получить путем следующих рассуждений: в цилиндре длиной \(\varLambda\) и радиусом \((r _ { 1 } + r _ { 0 })\)

(где \(r _ { 1 }, r _ { 0 }\) - радиусы атомов водорода и гелия), в среднем должен находится один атом гелия, поэтому

\[\pi ( r _ { 1 } + r _ { 0 } ) ^ { 2 } \varLambda \gamma = 1 ,\]

где \(\gamma\) - концентрация атомов гелия. Из этого соотношения находим

\[\varLambda \approx \frac { 1 } { \pi ( r _ { 1 } + r _ { 0 } ) ^ { 2 } \gamma } .\tag{3}\]

Концентрацию молекул гелия найдем из уравнения состояния идеального газа

\[p = \gamma k T ,\]

\(k\) - постоянная Больцмана. Таким образом, получаем окончательную формулу для оценки длины свободного пробега

\[\Lambda \approx \frac { k T } { \pi { \left( r _ { 1 } + r _ { 0 } \right) } ^ { 2 } p } .\tag{4}\]

Численная оценка длины свободного пробега для атома водорода в заданных условиях \(\Lambda \approx 2 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \, \text{м}\). При переходе в первое возбужденное состояние \((n = 2)\) радиус атома водорода возрастает в 4 раза поэтому длина свободного пробега уменьшается в

\[\frac { \Lambda _ { 1 } } { \Lambda _ { 2 } } = \frac { ( 4 r _ { 1 } + r _ { 0 } ) ^ { 2 } } { ( r _ { 1 } + r _ { 0 } ) ^ { 2 } } \approx 4 \text{ раза.}\]

4.3 Частота излуения определяется разностью энергий состояний, между которыми происходит переход

\[\nu = \frac { E _ { 1 } - E _ { 2 } } { h } ,\tag{5}\]

где \(h\) - постоянная Планка. Энергии состояний могут быть вычисленны по формуле

\[E _ { n } = \frac { m v _ { n } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r _ { n } } = - \frac { m e ^ { 4 } } { 2 ( 4 \pi \varepsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { n ^ { 2 } } ,\tag{6}\]

которая следует из теории Бора. Таким образом, искомая частота излучения

\[\nu _ { 0 } = \nu _ { 1 \to 2 } = \frac { m e ^ { 4 } } { ( 4 \pi \varepsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } 4 \pi \hbar ^ { 3 } } \left( \frac { 1 } { 1 ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } \right) \approx 2{,}4 \cdot 1 0 ^ { 1 5 } \, c ^ { - 1 } .\]

4.4 При движении приемника навстречу волне, одна длина волны \(\lambda\) (которая связана с частотой соотношением \(\lambda = \frac { c } { \nu _ { 0 } }\)) пройдет через приемник за время \(\tau = \frac { \lambda } { c + V }\). Понятно, что это время является периодом колебаний, вопринимаемым источником, поэтому воспринимаемая частота может быть рассчитана по формуле

\[\nu = \frac { 1 } { \tau } = \frac { \nu _ { 0 } } { c } ( c + V ) = \nu _ { 0 } \left( 1 + \frac { V } { c } \right) .\tag{7}\]

4.5 Из формулы (7) следует, что доплеровский сдвиг частоты равен \(\Delta \nu = \nu _ { 0 } \frac { V } { c }\). Такой сдвиг достигается при скорости

\[V ^ { * } = c \frac { \Delta \nu } { \nu _ { 0 } } \approx 1{,}3 \cdot 1 0 ^ { 3 } \, \frac { \text{м}}{c} .\]

4.6 Ширине линии поглощения \(\delta \nu\) соответствует интервал скоростей

\[\delta V = c \frac { \delta \nu } { \nu _ { 0 } } \approx 5 0 \frac { \mathcal { M } } { c } .\]

Из приведенного графика найдем значение

функции распределения для скорости \(V ^ { * } = 1 { , } 3 \cdot 1 0 ^ { 3 } \, \frac { \mathcal { M } } { c }\) :

\[f \approx 0 { , } 1 8 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \bigg ( \frac { \mathcal { M } } { c } \bigg ) ^ { - 1 } .\]

Поэтому доля молекул, которые могут поглотить падающее излучение равна \(f \delta V \approx 0 { , } 0 0 9\) (т.е. около \(1 \%\) ), учитывая вероятность поглощения, найдем долю возбужденных молекул \(\xi = \eta f \left( V ^ { * } \right) \delta V \approx 9 \cdot 1 0 ^ { - 5 }\)

4.7 При оговоренных приближениях, следует считать, что возбужденные атомы сразу останавливаются. Выделим эту группу атомов (они имеют скорости мало отличающиеся от величины \(V ^ { * } = c \frac { \Delta \nu } { \nu _ { 0 } } \approx 1 { , } 3 \cdot 1 0 ^ { 3 } \, \frac { \mathcal { M } } { c }\) ), обозначим их число \(\delta N = \xi N\) . Средняя скорость остальных молекул (их число \(N - \delta N\) практически равно полному числу молекул) и будет равна скорости дрейфа \(V _ { \partial p . }\) . При отсутствии возбуждения средняя скорость смещения равна нулю, поэтому выполняется соотношение

\[N V _ { \partial p . } + \delta N V ^ { * } = 0 \, .\]

Отсюда находим среднюю скорость дрейфа \(V _ { \partial p } = - \frac { \delta N } { N } V ^ { * } = - \xi V ^ { * } \approx - 0 { , } 1 \frac { \mathcal { M } } { c }\) . Знак минус указывает, что дрейф направлен в сторону, противоположную скорости атомов, поглощающих свет.

4.8 Из предыдущих разделов следует, что сорость определяется формулой

\[V _ { \partial p } = - \eta f \left( V ^ { * } \right) \delta V \cdot V ^ { * } ,\]

где \(V ^ { * } = c \frac { \Delta \nu } { \nu _ { 0 } }\) - скорость атомов, для которых падающее излучение является резонансным, поэтому

\[V _ { \partial p } \approx - \eta \delta V c \frac { \Delta \nu } { \nu _ { 0 } } f \left( c \frac { \Delta \nu } { \nu _ { 0 } } \right) .\]

Положительным считается направление, противоположное направлению падающего света. Схематический график этой зависимости имеет вид \(-xf(x)\) и показан на рисунке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.