Электрон в атоме водорода
3/10Радиус первой боровской орбиты электрона в атоме водорода \(r_1 = 0{,}53\cdot 10^{-10}\) м. Определите полную энергию электрона в этом состоянии в электрон-вольтах.
▶Показать разборСкрыть разбор
Ответ\(E = -2{,}17\cdot 10^{-18}\) Дж \(= -13{,}6\) эВ.
РешениеУсловие вращения электрона: \(\dfrac{mv_1^2}{r_1} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r_1^2}\). Кинетическая энергия \(E_K = \dfrac{mv_1^2}{2} = \dfrac{1}{8\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r_1}\), потенциальная \(E_{\mathrm{P}} = -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r_1}\). Полная энергия \(E = E_K + E_{\mathrm{P}} = -\dfrac{1}{8\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r_1} = -2{,}17\cdot 10^{-18}\) Дж \(= -13{,}6\) эВ.
Боровская орбита электрона
3/10Радиус первой боровской орбиты электрона в атоме водорода \(r_1 = 0{,}53\cdot10^{-10}\) м. Определите полную энергию электрона в этом состоянии в электрон-вольтах.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаДля движения по орбите кулоновская сила создаёт центростремительное ускорение. Найдите кинетическую и потенциальную энергии электрона.
Ответ\(E = -2{,}17\cdot10^{-18}\) Дж \(= -13{,}6\) эВ.
РешениеУсловие вращения электрона: \(\dfrac{mv_1^2}{r_1} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r_1^2}\). Кинетическая энергия \[E_K = \frac{mv_1^2}{2} = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_1}.\] Потенциальная энергия \[E_П = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_1}.\] Полная энергия \[E = E_K + E_П = -\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_1} = -2{,}17\cdot10^{-18}~\text{Дж} = -13{,}6~\text{эВ}.\]
Разброс энергии фотонов
3/10Время жизни атомов некоторого вещества в возбуждённом состоянии составляет \(\Delta t\). Переходя в основное состояние, атомы испускают фотоны, разброс энергии которых составляет
A. \(\Delta E \geq \dfrac{h}{\Delta t}\)
B. \(\Delta E \geq \dfrac{\hbar}{\Delta t}\)
C. \(\Delta E = 0\)
D. для ответа недостаточно данных
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаВспомните соотношение неопределённостей для энергии и времени.
ОтветA) и B).
Частицы и волны
8/10Корпускулярно-волновой дуализм, согласно которому каждая частица может быть описана как волна и наоборот, является одним из центральных понятий квантовой механики. В этой задаче мы опираемся на это понятие и лишь на несколько других базовых предположений, чтобы исследовать ряд квантовых явлений, охватывающих два различных типа частиц микромира — фермионы и бозоны.
Часть A. Квантовая частица в ящике (1,4 балла)
Рассмотрим частицу массы \(m\), движущуюся в одномерной потенциальной яме, где её потенциальная энергия \(V(x)\) равна нулю при \(0\le x\le L\) и бесконечна при \(x<0\) или \(x>L\): \[V(x)=\begin{cases}0, & 0\le x\le L;\\ \infty, & x<0\ \text{или}\ x>L.\end{cases}\qquad (1)\] Классическая частица может двигаться в такой яме, имея любую кинетическую энергию, тогда как для квантовой частицы допускаются лишь некоторые определённые дискретные положительные уровни энергии. В любом разрешённом состоянии частица может быть описана как стоячая волна де Бройля с узлами на стенках.
A-1. Определите минимально возможную энергию \(E_{\min}\) квантовой частицы в яме. Выразите ответ через \(m\), \(L\) и постоянную Планка \(h\). (\(0{,}4\) балла)
Состояние частицы с минимальной возможной энергией называется основным, а все остальные разрешённые состояния — возбуждёнными. Упорядочим все возможные значения энергии по возрастанию и обозначим их \(E_n\), начиная с \(E_1\) для основного состояния.
A-2. Найдите общее выражение для энергии \(E_n\) (\(n=1,2,3,\dots\)). (\(0{,}6\) балла)
A-3. Частица может мгновенно переходить из одного состояния в другое только испуская или поглощая фотон, энергия которого равна разности энергий соответствующих состояний. Найдите длину волны \(\lambda_{21}\) фотона, испускаемого при переходе частицы из первого возбуждённого состояния (\(E_2\)) в основное (\(E_1\)). (\(0{,}4\) балла)
Часть B. Оптические свойства молекул (2,1 балла)
В этой части мы изучим некоторые оптические свойства молекулы цианинового красителя Cy5 — широко используемого красителя, схематически показанного на рисунке 1a. Его оптические свойства определяются в основном углеродным остовом, состоящим из чередующихся одинарных и двойных связей между атомами углерода (рисунок 1b), тогда как влияние колец на концах молекулы и радикалов R значительно меньше. Три из четырёх валентных электронов каждого атома C (и атомов N) в остове образуют химические связи, а оставшиеся валентные электроны «обобществлены» и могут перемещаться по всему остову. Потенциальная энергия каждого такого электрона показана тонкой осциллирующей линией на рисунке 1c; минимумы этой энергии соответствуют положениям атомов C и N.
Рисунок 1 — (a) Химическая структура цианинового красителя Cy5 (для простоты атомы водорода не показаны, R обозначает некоторые радикалы). (b) Остов молекулы Cy5 со средним межатомным расстоянием \(l\). (c) Потенциальная энергия электрона вдоль остова (тонкая линия) и её приближение ступенчатой функцией из формулы (1) (толстая линия).
Для простоты аппроксимируем этот профиль потенциальной энергии простой функцией (1) с шириной \(L=10{,}5\,l\) (толстая линия на рисунке 1c), где \(l=140\) пм — среднее межатомное расстояние (см. также рисунок 1b). В результате получаем «электронный газ» из 10 электронов (7 от атомов C, 2 от атома N и 1 от иона N\(^+\)), движущихся в одномерной потенциальной яме, рассмотренной в части A. В нашей оценке можно пренебречь взаимодействием этих электронов между собой, однако нужно учитывать, что электроны являются фермионами и подчиняются принципу Паули. Также пренебрегаем влиянием других электронов и движением ядер.
B-1. Оцените наибольшую длину волны \(\lambda\) фотона, который может поглотить молекула Cy5, считая, что электронная система изначально находится в основном состоянии. Выразите ответ через \(l\), физические постоянные и некоторый численный множитель, и вычислите численное значение. (\(0{,}8\) балла)
B-2. Другой краситель, Cy3, имеет похожее строение, но его остов короче на два атома углерода. Смещён ли его спектр поглощения в более синюю или в более красную область спектра по сравнению с Cy5? Численно оцените величину \(\Delta\lambda\) этого спектрального сдвига. Можно считать, что удаление двух атомов углерода не меняет формы молекулы и лишь уменьшает длину остова на два межатомных расстояния. (\(0{,}4\) балла)
Находясь в возбуждённом состоянии, молекула может спонтанно перейти в основное состояние с испусканием фотона. Средняя скорость \(K\) таких событий (т.е. относительное уменьшение числа молекул в возбуждённом состоянии \(dN/N\) за время \(dt\), \(K=\dfrac{1}{N}\dfrac{dN}{dt}\)) определяется длиной волны \(\lambda\) испускаемого фотона, дипольным моментом перехода \(d\) (порядка \(d\simeq el\), где \(e\) — элементарный заряд), а также электрической постоянной \(\varepsilon_0\) и постоянной Планка \(h\).
B-3. Используя анализ размерностей, определите выражение для скорости спонтанного излучения через \(\varepsilon_0\), \(h\), \(\lambda\) и \(d\). Численный множитель в вашем выражении равен \(\dfrac{16}{3}\pi^3\). (\(0{,}7\) балла)
B-4. Для молекулы Cy5 \(d\approx 2{,}4\,el\). Оцените среднее время жизни флуоресценции \(\tau_{\text{Cy5}}\) самого низкого возбуждённого состояния молекулы Cy5, которое обратно скорости её излучательного перехода в основное состояние. (\(0{,}2\) балла)
Часть C. Бозе–Эйнштейновская конденсация (1,5 балла)
Эта часть не связана напрямую с частями A и B. Здесь мы изучим коллективное поведение бозонных частиц. Бозоны не подчиняются принципу Паули и при низких температурах или высоких плотностях испытывают драматическое явление, известное как бозе-эйнштейновская конденсация (БЭК). Это фазовый переход в своеобразное коллективное квантовое состояние: большое число одинаковых частиц «конденсируется» в одно квантовое состояние и начинает вести себя как единая волна. Переход обычно достигается охлаждением фиксированного числа частиц ниже критической температуры. В принципе его можно вызвать и при постоянной температуре, увеличивая плотность частиц сверх критического значения.
Начнём с изучения связи между температурой и плотностью частиц при переходе. Оказывается, оценки их критических значений можно получить из простого наблюдения: бозе-эйнштейновская конденсация происходит, когда длина волны де Бройля, соответствующая среднеквадратичной скорости частиц, равна характерному расстоянию между частицами в газе.
C-1. Для невзаимодействующего газа атомов \(^{87}\)Rb в термодинамическом равновесии запишите выражения для их типичного импульса \(p\) и типичной длины волны де Бройля \(\lambda_{\text{dB}}\) как функций массы атома \(m\), температуры \(T\) и физических постоянных. (\(0{,}4\) балла)
C-2. Вычислите типичное расстояние между частицами в газе \(\ell\) как функцию плотности частиц \(n\). Затем выведите критическую температуру \(T_c\) как функцию массы атома, их плотности и физических постоянных. (\(0{,}5\) балла)
Для реализации БЭК в лаборатории экспериментаторам необходимо охлаждать газы до температур \(T_c=100\) нК.
C-3. Какова плотность частиц газа Rb \(n_c\), если переход происходит при такой температуре? Для сравнения вычислите также «обычную» плотность частиц \(n_0\) идеального газа при стандартных температуре и давлении (СТД), т.е. \(T_0=300\) К и \(p_0=10^5\) Па. Во сколько раз «обычный» газ плотнее? Можно считать, что масса атомов равна 87 атомным единицам массы (\(m_{\text{а.е.м.}}\)). (\(0{,}6\) балла)
Часть D. Трёхлучевые оптические решётки (5 баллов)
Первые бозе-эйнштейновские конденсаты были получены в 1995 году, и с тех пор экспериментальная работа разошлась в самых разных направлениях. В этой части вы исследуете одну особенно плодотворную идею — загрузку конденсата в пространственно-периодические потенциалы, создаваемые интерференцией нескольких когерентных лазерных пучков. Из-за периодической природы возникающих интерференционных картин их называют оптическими решётками. Потенциальная энергия \(V(\vec r)\) атома, движущегося в оптической решётке, пропорциональна локальной интенсивности света, и в ваших расчётах можно считать, что \[V(\vec r)=-\alpha\left\langle\left|\vec E(\vec r,t)\right|^2\right\rangle. \qquad (2)\] Здесь \(\alpha\) — положительная постоянная, а угловые скобки означают усреднение по времени, которое устраняет быстро осциллирующие члены. Электрическое поле, создаваемое \(i\)-м лазером, описывается выражением \[\vec E_i=E_{0,i}\,\vec\varepsilon_i\cos\left(\vec k_i\cdot\vec r-\omega t\right), \qquad (3)\] с амплитудой \(E_{0,i}\), волновым вектором \(\vec k_i\) и единичным вектором поляризации \(\vec\varepsilon_i\).
Рисунок 2 — (a) Трёхлучевая оптическая решётка: три плоские волны с волновыми векторами \(\vec k_{1,2,3}\) пересекаются и интерферируют в области, отмеченной серым кругом. (b) Симметрии правильного шестиугольника: сплошные и штриховые линии показывают два набора осей симметрии. (c) Седловая точка: точка на поверхности, где наклоны по взаимно перпендикулярным направлениям равны нулю, но которая не является локальным экстремумом функции. При движении по траектории, отмеченной сплошной линией, встречается кажущийся минимум; для отличия истинного минимума от седловой точки нужен дополнительный анализ перпендикулярного направления (штриховая линия).
Ваша задача — изучить треугольные оптические решётки, создаваемые интерференцией трёх когерентных лазерных пучков одинаковой интенсивности. Типичная установка показана на рисунке 2a. Здесь все три пучка поляризованы в направлении \(z\), распространяются в плоскости \(xy\) и пересекаются под равными углами 120°. Направление оси \(x\) выберите параллельным волновому вектору \(\vec k_1\).
D-1. Используя (2) и (3), получите выражение для потенциальной энергии \(V(\vec r)\) как функции \(\vec r=(x,y)\) в плоскости пучков. Подсказка: результат можно компактно записать в виде постоянного члена плюс суммы трёх косинусов от аргументов \(\vec b_i\cdot\vec r\). Запишите результат в этом виде и определите векторы \(\vec b_i\). (\(1{,}4\) балла)
D-2. Результирующая потенциальная энергия обладает осью симметрии шестого порядка, т.е. распределение потенциала инвариантно относительно поворота на кратный \(60^\circ\) угол вокруг начала координат. Приведите простой аргумент, доказывающий, что это действительно так. (\(0{,}5\) балла)
Это наблюдение симметрии упрощает анализ двумерного распределения потенциала \(V(\vec r)\). Как показано на рисунке 2b, правильный шестиугольник имеет оси симметрии, которые соединяют противоположные вершины (сплошные линии), и середины противоположных сторон (штриховые линии). Поэтому в нашей ситуации не нужно строить и изучать двумерные графики потенциала: многое можно понять, рассматривая координатные оси \(x\) и \(y\), проходящие вдоль осей симметрии.
D-3. Найдите поведение потенциала \(V(\vec r)\) вдоль координатных осей, т.е. определите функции \(V_X(x)\equiv V(x,0)\) и \(V_Y(y)\equiv V(0,y)\). Определите положения экстремумов \(V_X(x)\) и \(V_Y(y)\) как функций одного аргумента. Так как эти функции периодичны, включите в свои списки только по одному представителю из каждого семейства периодически повторяющихся минимумов и максимумов. (\(1{,}2\) балла)
Мы заинтересованы в определении положений так называемых узлов решётки, т.е. минимумов полного двумерного потенциала \(V(\vec r)\). Найденные минимумы одномерных функций \(V_X\) и \(V_Y\) указывают предполагаемые положения, но их ещё нужно проверить, чтобы исключить седловые точки. Как показано на рисунке 2c, при изучении вдоль одной линии седловые точки могут выглядеть как минимумы, но ими не являются.
D-4. Используя результаты предыдущего вопроса, определите истинные минимумы оптической решётки: найдите все эквивалентные минимумы, ближайшие к началу координат (но не совпадающие с ним). Каково расстояние \(a\) между ближайшими минимумами, иначе говоря — постоянная решётки нашей оптической решётки? Выразите ответ через длину волны лазера \(\lambda_{\text{las}}\). (\(0{,}8\) балла)
Зарядовая нейтральность ультрахолодных атомов означает, что их взаимодействия становятся существенными только тогда, когда два или более атомов занимают один и тот же узел оптической решётки. Однако экспериментаторы умеют создавать установки, поддерживающие дальнодействующие атомные взаимодействия. Один из возможных подходов основан на создании так называемых ридберговских атомов, которые физически велики и обладают другими ярко выраженными свойствами. Ридберговские атомы — возбуждённые атомы, у которых один электрон переведён в состояние с очень большим главным квантовым числом \(n\). Размер ридберговского атома можно оценить, вычислив радиус классической круговой орбиты этого электрона с орбитальным моментом импульса \(n\hbar\), где \(\hbar\) — приведённая постоянная Планка.
D-5. Вычислите значение \(n\), которое соответствует радиусу ридберговского атома Rb, сравнимому с длиной волны лазерного света \(\lambda_{\text{las}}=380\) нм. Выразите ответ через \(\lambda_{\text{las}}\) и физические постоянные и найдите его численное значение. (\(1{,}1\) балла)
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаДля части A вспомните, что стоячая волна де Бройля укладывается в яму целым числом полуволн. Для части D сложите три косинуса в (2) и выясните, какие аргументы возникают; симметрию удобно проверять на минимумах вдоль осей.
ОтветA-1) \(E_{\min}=\dfrac{h^2}{8mL^2}\); A-2) \(E_n=\dfrac{h^2n^2}{8mL^2}\), \(n=1,2,3,\dots\); A-3) \(\lambda_{21}=\dfrac{8mcL^2}{3h}\); B-1) \(\lambda=\dfrac{882}{11}\dfrac{m_e c\,l^2}{h}\approx 647\) нм; B-2) сдвиг в синюю область, \(\lambda_{\text{Cy3}}\approx 518\) нм, \(\Delta\lambda\approx 129\) нм; B-3) \(K=\dfrac{16\pi^3}{3}\dfrac{d^2}{\varepsilon_0 h\lambda^3}\); B-4) \(\tau_{\text{Cy5}}\approx 3{,}3\) нс; C-1) \(p=\sqrt{3mk_BT}\), \(\lambda_{\text{dB}}=\dfrac{h}{\sqrt{3mk_BT}}\); C-2) \(\ell=n^{-1/3}\), \(T_c=\dfrac{h^2n^{2/3}}{3mk_B}\); C-3) \(n_c\approx 1{,}59\cdot10^{18}\) м\(^{-3}\), \(n_0/n_c\approx 1{,}5\cdot10^{7}\); D-1) \(V(\vec r)=-\alpha E_0^2\left(\dfrac32+\sum_{j=1}^{3}\cos(\vec b_j\cdot\vec r)\right)\), \(\vec b_1=\vec k_2-\vec k_3\), \(\vec b_2=\vec k_3-\vec k_1\), \(\vec b_3=\vec k_1-\vec k_2\); D-3) \(V_X(x)=-\alpha E_0^2\left(\dfrac52+2\cos\dfrac{3kx}{2}\right)\), минимум при \(x=0\), максимум при \(x=\dfrac{2\pi}{3k}\); \(V_Y(y)=-\alpha E_0^2\left(\dfrac32+\cos2\varphi+2\cos\varphi\right)\), \(\varphi=\dfrac{\sqrt3\,k y}{2}\): минимум при \(y=0\) (узел решётки), мелкий минимум при \(y=\dfrac{2\pi}{\sqrt3 k}\) (седловая точка), максимумы при \(y=\dfrac{4\pi}{3\sqrt3 k}\) и \(y=\dfrac{8\pi}{3\sqrt3 k}\); D-4) шесть ближайших эквивалентных минимумов в направлениях \(0^\circ\), \(\pm60^\circ\), \(\pm120^\circ\), \(180^\circ\) от \(x\), на расстоянии \(a=\dfrac{4\pi}{3k}=\dfrac{2}{3}\lambda_{\text{las}}\); D-5) \(n\approx 85\).
РешениеA-1. Ширина ямы \(L\) равна половине длины волны де Бройля стоячей волны \(\lambda_{\text{dB}}=h/p\), т.е. \(p=h/\lambda_{\text{dB}}=h/(2L)\). Тогда минимальная энергия частицы \[E_{\min}=\dfrac{p^2}{2m}=\dfrac{h^2}{8mL^2}.\]
A-2. В яму должно укладываться целое число полуволн де Бройля: \(L=\dfrac12\lambda_{\text{dB}}^{(n)}\cdot n\), \(n=1,2,\dots\). Тогда импульс, соответствующий длине волны \(\lambda_{\text{dB}}^{(n)}\), равен \[p_n=\dfrac{h}{\lambda_{\text{dB}}^{(n)}}=\dfrac{hn}{2L},\] а соответствующая энергия \[E_n=\dfrac{p_n^2}{2m}=\dfrac{h^2n^2}{8mL^2},\qquad n=1,2,3,\dots\ .\]
A-3. Энергия испущенного фотона \(E=hc/\lambda\) (здесь \(c\) — скорость света, \(\lambda\) — длина волны фотона) должна равняться разности энергий \(\Delta E=E_2-E_1\), поэтому \[\lambda_{21}=\dfrac{hc}{E_2-E_1}=\dfrac{8mcL^2}{3h}.\]
B-1. С учётом принципа Паули каждый уровень \(E_n\) занят двумя электронами с противоположно направленными спинами. Значит, 10 электронов заполняют 5 нижних состояний, а поглощение фотона наибольшей длины волны соответствует переходу одного электрона с занятого уровня \(E_5\) на свободный уровень \(E_6\): \[\dfrac{hc}{\lambda}=E_6-E_5,\] где \(E_6\) и \(E_5\) находятся по формуле (1), в которой \(m\) заменено массой электрона \(m_e\). Получаем \[\lambda=\dfrac{c\cdot 8m_e L^2}{h\,(6^2-5^2)}=\dfrac{10{,}5^2\cdot 8}{11}\dfrac{m_e c\,l^2}{h}=\dfrac{882}{11}\dfrac{m_e c\,l^2}{h}\approx 647\text{ нм}.\] Этот результат точно соответствует экспериментальному положению пика спектра поглощения Cy5.
B-2. В аналогичной модели для молекулы Cy3 в яме длиной \(L=8{,}5\,l\) находятся 8 электронов, поэтому поглощение фотона соответствует переходу \(E_4\to E_5\). С учётом результата пункта B-1 \[\lambda_{\text{Cy3}}=\dfrac{8{,}5^2\cdot 8}{5^2-4^2}\dfrac{m_e c\,l^2}{h}\approx 518\text{ нм},\] т.е. спектр поглощения Cy3 сдвинут на \(\Delta\lambda\approx 129\) нм в синюю область по сравнению со спектром Cy5. Экспериментальное значение \(\lambda^{(\text{exp})}_{\text{Cy3}}=548\) нм, так что наша модель довольно хорошо передаёт общие свойства этих красителей.
B-3. Пусть \[K=k\,\varepsilon_0^{\alpha}h^{\beta}\lambda^{\gamma}d^{\delta}.\] Размерности величин в СИ: \([\varepsilon_0]=\dfrac{\text{А}^2\cdot\text{с}^4}{\text{кг}\cdot\text{м}^3}\), \([h]=\dfrac{\text{кг}\cdot\text{м}^2}{\text{с}}\), \([\lambda]=\text{м}\), \([d]=\text{А}\cdot\text{с}\cdot\text{м}\), \([K]=\text{с}^{-1}\). Подставляя их, получаем систему линейных уравнений для степеней \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\): \[2\alpha+\delta=0,\qquad -\alpha+\beta=0,\qquad 4\alpha-\beta+\delta=-1,\qquad -3\alpha+2\beta+\gamma+\delta=0.\] Её решение: \(\alpha=\beta=-1\), \(\gamma=-3\), \(\delta=2\), поэтому скорость спонтанного излучения \[K=\dfrac{16\pi^3}{3}\dfrac{d^2}{\varepsilon_0 h\lambda^3}.\]
B-4. Используя формулу для скорости излучения из пункта B-3, выражая дипольный момент перехода как \(d=2{,}4\,el\) и подставляя \(\lambda\approx 647\) нм из пункта B-1, получаем \[\tau_{\text{Cy5}}=\dfrac{3}{16\pi^3}\dfrac{\varepsilon_0 h\,\lambda^3}{2{,}4^2\,l^2e^2}\approx 3{,}3\text{ нс}.\]
C-1. При температуре \(T\) средняя кинетическая энергия поступательного движения равна \(\dfrac32 k_BT\). Приравнивая её к \(p^2/(2m)\), получаем типичный импульс \(p=\sqrt{3mk_BT}\) и длину волны де Бройля \[\lambda_{\text{dB}}=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{\sqrt{3mk_BT}}.\]
C-2. Объём, приходящийся на одну частицу \(V/N\), является хорошей оценкой для \(\ell^3\). Получаем \(\ell=n^{-1/3}\), где \(n=N/V\), и, приравнивая \(\ell=\lambda_{\text{dB}}\), выражаем \[T_c=\dfrac{h^2n^{2/3}}{3mk_B}.\]
C-3. Используя ответ предыдущего пункта, выражаем \[n_c=\dfrac{(3mk_BT_c)^{3/2}}{h^3}.\] Уравнение состояния идеального газа даёт \(n_0=\dfrac{p}{k_BT}\). Численные оценки: \(n_c\approx 1{,}59\cdot10^{18}\) м\(^{-3}\) и \(n_0/n_c\approx 1{,}5\cdot10^{7}\).
D-1. Суммируем три электрических поля (компоненты \(z\)) \[E(\vec r,t)=E_0\sum_{i=1}^{3}\cos\left(\vec k_i\cdot\vec r-\omega t\right),\] и возводим результат в квадрат: \[E^2(\vec r,t)=\dfrac{E_0^2}{2}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\left\{\cos\left[(\vec k_i-\vec k_j)\cdot\vec r\right]+\cos\left[(\vec k_i+\vec k_j)\cdot\vec r-2\omega t\right]\right\}.\] Усреднение по времени даёт \[\left\langle E^2(\vec r,t)\right\rangle=\dfrac{E_0^2}{2}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\cos\left[(\vec k_i-\vec k_j)\cdot\vec r\right].\] Анализируя 9 слагаемых, получаем \[\left\langle E^2(\vec r,t)\right\rangle=E_0^2\left(\dfrac32+\sum_{j=1}^{3}\cos\left(\vec b_j\cdot\vec r\right)\right),\] где \[\vec b_1=\vec k_2-\vec k_3,\qquad \vec b_2=\vec k_3-\vec k_1,\qquad \vec b_3=\vec k_1-\vec k_2.\] Их можно записать через символ Леви-Чивиты \(\vec b_k=\varepsilon_{ijk}(\vec k_i-\vec k_j)\). Эти векторы известны как векторы обратной решётки.
D-2. Аргумент: поворот на \(60^\circ\) переводит тройку векторов \(\vec b_{1,2,3}\) в перенумерованную тройку векторов вида \(-\vec b\), а косинус при изменении знака аргумента не меняется, поэтому потенциал не меняется.
D-3. Получаем \[V(x,y)=-\alpha E_0^2\left\{\dfrac32+\cos\left(ky\sqrt3\right)+\cos\left(\dfrac{3kx}{2}+\dfrac{ky\sqrt3}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{3kx}{2}-\dfrac{ky\sqrt3}{2}\right)\right\},\] откуда \[V_X(x)=-\alpha E_0^2\left(\dfrac52+2\cos\dfrac{3kx}{2}\right).\] Потенциал имеет простой косинусоидальный вид, а начало координат — очевидный минимум. Его копии повторяются с шагом \(\Delta x=\dfrac{4\pi}{3k}\). В середине между любыми двумя минимумами, например при \(x=\Delta x/2=\dfrac{2\pi}{3k}\), функция \(V_X(x)\) имеет максимумы.
Что касается поведения вдоль оси \(y\): \[V_Y(y)=-\alpha E_0^2\left(\dfrac32+\cos2\varphi+2\cos\varphi\right),\qquad \varphi=\dfrac{\sqrt3\,ky}{2}.\] Для поиска экстремумов получаем уравнение \[\sin2\varphi+\sin\varphi=0.\] — \(\varphi=0\) (соответствует \(y=0\)) — «глубокий» минимум, т.е. узел решётки; — \(\varphi=\pi\) (соответствует \(y=\dfrac{2\pi}{\sqrt3 k}\)) — «мелкий» минимум (позже показано, что это седловая точка \(V(x,y)\)); — \(\varphi=\dfrac{2\pi}{3}\) и \(\varphi=\dfrac{4\pi}{3}\) (соответствуют \(y=\dfrac{4\pi}{3\sqrt3 k}\) и \(y=\dfrac{8\pi}{3\sqrt3 k}\)) — максимумы. D-4. Пересматриваем минимумы, найденные в предыдущем вопросе, и исключаем седловую точку \(\left(0,\dfrac{2\pi}{3\sqrt3 k}\right)\). Истинные минимумы двумерного потенциала \(V(x,y)\): — \((0,0)\) — в начале координат; — \(\left(\dfrac{4\pi}{3k},0\right)\) — ближайший к началу координат в положительном направлении оси \(x\). Из соображений симметрии имеется шесть эквивалентных ближайших минимумов в направлениях \(0^\circ\), \(\pm60^\circ\), \(\pm120^\circ\) и \(180^\circ\) относительно оси \(x\). Расстояние между ближайшими минимумами (постоянная решётки) \(a=\dfrac{4\pi}{3k}\). Так как длина волны лазера \(\lambda_{\text{las}}=\dfrac{2\pi}{k}\), имеем \(a=\Delta x=\dfrac{2\lambda_{\text{las}}}{3}\), т.е. \(\dfrac{a}{\lambda_{\text{las}}}=\dfrac{2}{3}\).
D-5. Остовные электроны атома (все, кроме одного, переведённого в состояние с большим главным квантовым числом \(n\)) экранируют электрическое поле ядра, поэтому эффективный потенциал для внешнего электрона напоминает потенциал атома водорода. Сила притяжения, действующая на этот электрон, \(F=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\), создаёт его центростремительное ускорение \(a=\dfrac{v^2}{r}\). Приравнивая \(F=m_ea\) и используя выражение для углового момента \(m_evr=n\hbar\), чтобы исключить скорость, находим квантовое число \(n\), соответствующее орбите радиуса \(r=\lambda_{\text{las}}\): \[n=\dfrac{e}{\hbar}\sqrt{\dfrac{m_e\lambda_{\text{las}}}{4\pi\varepsilon_0}}\approx 85.\]
Свечение у электрода в гелии
4/10В лаборатории физики плазмы Института тепловой и атомной энергетики НИУ МЭИ на специальной установке проводятся исследования материалов первой стенки термоядерного реактора. Установка представляет из себя герметичную цилиндрическую камеру 1 (см. фото), в которой находится гелий под давлением много ниже атмосферного. Камера выполнена из нержавеющей стали и заземлена. Через боковую стенку внутрь камеры введён электрод 2, представляющий из себя изолированный от камеры металлический стержень с закруглением на конце. И камера, и стержень находятся при комнатной температуре. В одном из экспериментов через кварцевое окно 3 в торцевой стенке камеры исследователи заметили следующее явление. При подаче на электрод отрицательного потенциала около 1000 В вокруг стержня наблюдалось свечение 4. Как вы думаете, что является причиной данного свечения? Почему светится в основном область вблизи электрода? Поясните ответ.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаГде напряжённость поля у заряженного стержня больше — вблизи закруглённого конца или вдали от него? Хватает ли электрону энергии на длине свободного пробега, чтобы возбудить атом гелия?
ОтветСвечение вызвано возбуждением атомов гелия электронами, ускоренными полем: разновидность коронного разряда. Светится область у электрода, где напряжённость поля наибольшая; вдали от стержня электроны не успевают набрать энергию, достаточную для возбуждения.
РешениеВ данном случае имеет место разновидность коронного разряда. Внутри камеры присутствует некоторое количество свободных электронов. Под действием электрического поля стержня электроны разгоняются до кинетической энергии, достаточной для возбуждения атомов гелия при столкновении с ними. Атомы гелия, возвращаясь в исходное состояние, испускают свет. Вдали от стержня напряжённость электрического поля меньше, поэтому на длине свободного пробега большинство электронов не успевают набрать энергию, достаточную для возбуждения гелия. Поэтому вдали от стержня свечения почти нет.
Первый открытый квазар: источник 3C~273
4/10Баллов: 30. Время: 5 часов.
Часть A. Видимое движение Луны на фоне звёзд (\(1{,}8\) балла). Луна совершает один оборот вокруг Земли относительно звёзд за \(27{,}3\) суток — это звёздный месяц. В телескоп движение Луны заметно, а невооружённым глазом для его обнаружения нужны несколько часов наблюдений. Помня, что \(3600\) угловых секунд \(= 60\) угловых минут \(= 1\) градус, определите, на какие градусы, угловые минуты и угловые секунды смещается Луна на фоне звёзд за:
(A.1) один час? одну минуту? одну секунду? (\(1{,}3\) балла)
(A.2) За какое время Луна проходит расстояние, равное собственному диаметру на небе? (Примечание: угловой диаметр Луны, видимый с Земли, равен \(30\) угловым минутам.) (\(0{,}5\) балла)
Часть B. Использование покрытий звёзд Луной для точного определения положения радиоисточников: случай 3C 273 (\(1{,}8\) балла). В конце 1950-х и начале 1960-х годов измерений радиоположений с такой точностью не существовало. Покрытия использовались и раньше, но Хазард особенно интересовался их возможностью определять положения радиоисточников и их структуру с точностью до угловых секунд. Такие измерения проводились в оптической системе отсчёта, что позволяло надёжно отождествлять объекты. Хазард отметил, что сильный радиоисточник класса II 3C 273 будет скрываться Луной (то есть покрываться — явление покрытия) несколько раз в 1962 и 1963 годах.
Покрытие 5 августа 1962 года наблюдалось на частотах \(410\) и \(136\) МГц. Были зарегистрированы и исчезновение, и появление источника; запись исчезновения показала наличие в источнике двух компонент, A и B. Записи исчезновения (справа) и появления (слева) на \(410\) МГц показаны на рис. 1.
Рис. 1: Записи исчезновения и появления 5 августа 1962 года на частоте 410 МГц, взятые из работы Хазарда и др. (1963). Время течёт справа налево, и Луна также движется справа налево. Нижняя панель показывает положения компонент A и B источника относительно края Луны при исчезновении и появлении. На рисунке: Time — время; 1 minute — 1 минута; LIMB OF MOON — край Луны; Moon's motion — движение Луны; буквы A и B — компоненты источника; a и b — панели записей.
(B.1) Что вызывает колебания наблюдаемой интенсивности? A. Дифракционная картина телескопа. B. Нестабильность крепления телескопа. C. Особенности поверхности Луны. D. Атмосферные условия Земли. (\(0{,}6\) балла)
(B.2) Почему на записи появления для компоненты B в левой части рисунка нет дополнительного всплеска? Как это помогает понять структуру источника? A. Две компоненты обращаются вокруг Луны. B. Наш луч зрения изменился относительно двух компонент. C. Обе компоненты выровнены с краем Луны в момент появления. D. Временные масштабы физических процессов, определяющих светимость двух (\(0{,}6\) балла)
(B.3) Исходя из ответов на A.1–A.4 и данных рис. 1, оцените приблизительное видимое (проекционное) угловое расстояние между двумя компонентами 3C 273. (\(0{,}6\) балла)
Часть C. Прорыв в понимании истинной природы 3C 273 (\(1{,}8\) балла). В 1962 году, когда проводились эти наблюдения, Маартен Шмидт занимался программой оптического отождествления и спектроскопии оптических объектов, связанных с радиоисточниками. Уайтоук мимоходом отмечает, что «текущая точка зрения Калтеха» состоит в том, что вероятное отождествление 3C 273 — звезда и странная струя. Поскольку никакая другая яркая звезда не предлагалась как отождествление радиоисточника, он предположил, что яркая «звезда» звёздной величины \(13\) (звёздная величина — мера яркости: чем ярче звезда, тем меньше число) — просто мешающий яркий объект переднего плана. Чтобы получить спектр слабой струи, которую он считал наиболее вероятным отождествлением, неизбежно, что яркая мешающая звезда в нескольких угловых секундах попадёт в любой спектр струи. Чтобы компенсировать это, Маартен Шмидт решил сначала получить спектр этой яркой звезды. В ночь на 29 декабря ему удалось получить спектр яркой «звезды», на котором видны слабые эмиссионные линии (рис. 2), без очевидного объяснения через какие-либо ожидаемые звёздные линии. Всё прояснилось, только когда Шмидт сравнил странный спектр с бальмеровскими линиями водорода:
Рис. 2: Оптический спектр 3C 273 (сверху) вместе со спектром лабораторного сравнения (снизу). На рисунке: Red — красный; Blue — синий; Red shift — красное смещение; Comparison spectrum — спектр сравнения; 3C 273 — источник. Строка «Copyright © 2008 Pearson Education» — указание правообладателя рисунка, оставлена как в оригинале.
(C.1) Сравните отношения длин волн линий на рис. 2. По этим отношениям определите красное смещение \(z = \dfrac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0}\) этого источника. (\(0{,}6\) балла)
(C.2) Предположим, что это смещение возникает из-за релятивистских гравитационных эффектов от массы объекта. В этом случае гравитационное смещение можно оценить как \(z = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{2GM}{c^2 r}}} - 1\). Докажите, что на любом расстоянии, на котором мог бы находиться 3C 273 (например, на краю Млечного Пути, \(r \sim 100\) кпк \(\sim 3\cdot10^{21}\) м; на краю Солнечной системы, \(r \sim 100\) а.е. \(\sim 1{,}5\cdot10^{13}\) м), масса 3C 273 была бы настолько велика, что нарушила бы всю галактику или Солнечную систему. (\(0{,}6\) балла)
(C.3) Закон Хаббла утверждает, что чем дальше галактики, тем быстрее они удаляются от Земли. Постоянная Хаббла — отношение скорости к расстоянию до галактик, равна \(H = 75\) км/с/Мпк. Исходя из этого будем считать, что вычисленное смещение обусловлено космологическим расширением, и приближённо примем \(z \approx v/c\). Каково расстояние до этого объекта? Сравните его с размером Млечного Пути. (\(0{,}6\) балла)
Часть D. Собственная светимость радиоисточника 3C 273 (\(1{,}8\) балла). Поток источника 3C 273 измерен по всему радиоспектру и подчиняется соотношению \(F_\nu \sim 25000\,\nu^{-0{,}3}\) Ян, где \(\nu\) — наблюдаемая частота в герцах, а Ян (Jy) определён как \(1\) Ян \(= 10^{-26}\) Вт м\(^{-2}\) Гц\(^{-1}\). Поскольку источник излучает по сфере радиуса, равного расстоянию до нас, собственная светимость задаётся формулой \(L_\nu = 4\pi d^2 F_\nu\). С учётом этого:
(D.1) Чему равна светимость источника на единицу частоты? (Подсказка: \(1\) пк \(= 3{,}09\cdot10^{16}\) м.) (\(0{,}6\) балла)
(D.2) Чему равна полная светимость в радиодиапазоне (то есть от \(10^7\) Гц до \(10^{11}\) Гц)? (\(0{,}6\) балла)
(D.3) Как светимость 3C 273 соотносится со светимостью Солнца (\(L_{\text{Sun}} = 3{,}82\cdot10^{26}\) Вт) и Млечного Пути (\(L_{MW} = 1{,}5\cdot10^{10}L_{\text{Sun}}\)) в том же диапазоне частот? (\(0{,}6\) балла)
Часть E. Источник энергии 3C 273 (\(1{,}4\) балла). Мы видели, что яркость 3C 273 слишком велика для одной звезды, даже для целой галактики. Значит, должен существовать иной, не звёздный механизм, дающий всю эту мощность.
(E.1) Проверьте, что аннигиляция вещества с антивеществом (например, \(e^+ + e^- \to 2\gamma\)) не может это объяснить, поскольку она дала бы очень энергичное рентгеновское излучение, а не оптическое и радиоизлучение. (\(0{,}7\) балла)
(E.2) Одной из первых предложенных гипотез была аккреция вещества на сверхмассивную чёрную дыру. Проверим, может ли потенциальная энергия дать всю эту энергию: пусть чёрная дыра аккрецирует одну солнечную массу (\(2\cdot10^{30}\) кг) до своего шварцшильдовского радиуса \(R_s = \dfrac{2GM}{c^2}\) каждый год. Какую мощность можно получить при аккреции? Достаточно ли этого, чтобы объяснить наблюдения, обсуждавшиеся в D.1–D.3? (\(0{,}7\) балла)
Часть F. Современные наблюдения и природа компонент 3C 273 (\(1{,}4\) балла). Современные изображения, полученные разными телескопами (см., например, рис. 3), показали, что две компоненты A и B, измеренные по лунному покрытию, соответствуют компактному ядру, в котором находится чёрная дыра, и струе, которая простирается на расстояние, вычисленное вами ранее. Считается, что эта струя образуется при ускорении аккрецирующих частиц сильным магнитным полем чёрной дыры — подобно тому, как частицы солнечного ветра попадают в магнитное поле Земли и порождают полярные сияния вблизи полюсов, но в гораздо большем масштабе.
Рис. 3: Радиоизображение 3C 273, полученное телескопом MERLIN.
Плотность энергии, необходимая для создания такой струи, может быть записана через магнитное поле как сумма плотности энергии частиц \(U_e \sim B^{-3/2}\) и плотности магнитной энергии \(U_B \sim B^2\).
(F.1) Покажите, что минимальная плотность энергии задаётся соотношением \(\dfrac{U_e}{U_B} = \dfrac{4}{3}\). (\(0{,}7\) балла)
(F.2) Если предположить, что полная мощность струи 3C 273 равна половине энергии, излучённой 3C 273 за одну секунду (вычисленной в D.1 и D.2), а объём струи составляет \(10^{45}\) м\(^3\), оцените магнитное поле струи. (Подсказка: магнитная проницаемость \(\mu = 4\pi\cdot10^{-7}\) Тл м/А.) (\(0{,}7\) балла)
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаДля части A: угловая скорость Луны постоянна, поэтому за время \(t\) смещение равно произведению скорости на \(t\) — переведите скорость из градусов в секунды дуги. Для части C: \(z\) связывает отношение длин волн линий с известной линией водорода; при малых \(z\) скорость удаления связана с расстоянием законом Хаббла. Для части F: минимум суммы двух степенных зависимостей от \(B\) находится приравниванием производной нулю.
ОтветA.1) за час: \(0{,}55^\circ \approx 33'\) (\(\approx 1978''\)); за минуту: \(0{,}55' \approx 33''\); за секунду: \(\approx 0{,}55''\); A.2) \(\approx 54{,}5\) мин; B.1) A; B.2) C; B.3) около \(15''\) (любая оценка в пределах рассуждения); C.1) \(z \approx 0{,}158\); C.2) \(M \sim 10^{17}\,M_\odot\) при \(r \sim 100\) кпк и \(M \sim 10^{9}\,M_\odot\) при \(r \sim 100\) а.е.; C.3) \(d \approx 632\) Мпк (по оценке организаторов — \(749\) Мпк), то есть в тысячи раз больше размера Млечного Пути; D.1) \(L_\nu \approx 1{,}25\cdot10^{30}\,\nu^{-0{,}3}\); D.2) \(L \approx 9\cdot10^{37}\) Вт; D.3) \(L/L_{\text{Sun}} \approx 2{,}3\cdot10^{11}\) (почти триллион раз ярче Солнца, ярче Млечного Пути); E.1) энергия электрона \(0{,}5\) МэВ соответствует рентгеновскому диапазону; E.2) \(\approx 5{,}7\cdot10^{39}\) Вт (одна солнечная масса в год), что на порядок больше нужного; F.1) \(U_e/U_B = 4/3\); F.2) \(B \approx 2{,}3\cdot10^{-7}\) Тл.
РешениеЧасть A. A.1. Луна совершает оборот примерно за месяц; точнее, проходит \(360^\circ\) за \(27{,}3\) суток. \(360/27{,}3 = 13{,}19^\circ\) в сутки. Каждый день Луна смещается примерно на \(13^\circ\) к востоку относительно своего положения в то же время предыдущего дня. Переведём в скорость в час: \(13{,}19^\circ/\text{сут} : 24\ \text{ч} = 0{,}55^\circ\) в час. Луна проходит чуть больше половины градуса за час. Так как \(1^\circ = 60'\), то \(0{,}55^\circ = 33'\) (отношение \(0{,}55 : 33 = 1 : 60\)). Значит, Луна смещается на \(33'\) в час. Так как \(1' = 60''\), за час она проходит \(33\cdot60'' = 1978''\).
За минуту: \(0{,}55^\circ/\text{ч} : 60\ \text{мин} = 0{,}0092^\circ\) в минуту. Так как \(1^\circ = 60'\), \(0{,}0092^\circ = 0{,}55'\). Так как \(1' = 60''\), Луна смещается на \(33''\) в минуту.
За секунду: \(0{,}55^\circ/\text{ч} : 3600\ \text{с} = 0{,}000153^\circ\) в секунду. Если Луна смещается на \(0{,}55'\) за минуту, то за секунду она смещается на \(0{,}55/60 = 0{,}0092'\); \(0{,}0092'\cdot 60''/' = 0{,}55''\).
A.2. Диаметр Луны \(= 30' = 0{,}5^\circ\). За минуту Луна смещается на \(0{,}55'\). Время, за которое она проходит расстояние, равное своему диаметру: \(30'/(0{,}55'/\text{мин}) = 54{,}5\) мин, то есть чуть меньше часа.
Часть B. B.1. Ответ A: дифракционная картина телескопа.
B.2. Ответ C: обе компоненты выровнены с краем Луны при появлении.
B.3. Из пункта A.1 Луна движется со скоростью \(33''\) в минуту относительно звёзд, а на записи расстояние между компонентами A и B составляет около \(1/2\) минуты. Значит, компоненты разделены примерно на \(15''\) (любое значение в пределах этой оценки засчитывается, если оно разумно обосновано).
Часть C. C.1. По рисунку можно оценить длины волн, на которых находятся линии. Например, линия \(H\gamma\) у 3C 273 находится почти на \(500\) нм, поэтому \(490\) или \(495\) нм — разумная оценка. Для спектра сравнения, поскольку он ближе к \(400\) нм, \(H\gamma\) может быть около \(440\) нм (на самом деле \(434\) нм). Итоговое красное смещение \[z = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} \approx 0{,}158.\] Другие результаты, близкие к этому, засчитываются, если длины волн разумно оценены.
C.2. Из \(z = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2GM/(c^2r)}} - 1\) получаем \[M = \frac{c^2 r}{2G}\left[1 - \frac{1}{(1+z)^2}\right].\] На краю Млечного Пути (при \(100\) кпк), \(r \sim 3\cdot10^{21}\) м, получаем \(M \sim 10^{17}M_\odot\) (больше всей массы Млечного Пути!). Если поместить объект на краю Солнечной системы (при \(100\) а.е.), \(r \sim 1{,}5\cdot10^{13}\) м, получаем \(M \sim 10^{9}M_\odot\). Это полностью разрушило бы Солнечную систему.
C.3. При малом красном смещении \(z \approx v/c\), закон Хаббла \(v = Hd\), поэтому \(d = \dfrac{zc}{H}\). При \(H = 75\) км/с/Мпк \[d = \frac{0{,}158\cdot300\,000}{75} \approx 632\ \text{Мпк}.\] (Современная оценка расстояния — \(749\) Мпк.) Это в тысячи раз дальше размера Млечного Пути, поэтому это независимый объект, гораздо более удалённый.
Часть D. D.1. При \(d = 632\) Мпк \(= 2\cdot10^{25}\) м: \(S_\nu = 2{,}5\cdot10^{-22}\,\nu^{-0{,}3}\). Светимость \[L_\nu = 4\pi d^2 S_\nu = 4\pi\left(2\cdot10^{25}\right)^2\,\nu^{-0{,}3} = 1{,}25\cdot10^{30}\,\nu^{-0{,}3}\ \text{Вт м}^{-2}\,\text{Гц}^{-1}.\]
D.2. Полная светимость: \[L = \int_{10^7}^{10^{11}} L_\nu\,d\nu = \left.\frac{1{,}25\cdot10^{30}}{0{,}7}\,\nu^{0{,}7}\right|_{\nu=10^7}^{\nu=10^{11}} = 9\cdot10^{37}\ \text{Вт}.\]
D.3. Сравнение с Солнцем: \[\frac{L}{L_{\text{Sun}}} = \frac{9\cdot10^{37}}{3{,}82\cdot10^{26}} \approx 2{,}3\cdot10^{11}.\] Это почти триллион раз ярче Солнца и ярче Млечного Пути.
Часть E. E.1. Энергия покоя электрона \(0{,}5\) МэВ (допустимы и другие единицы, например \(8\cdot10^{-14}\) Дж). Переведённая в длину волны, эта энергия соответствует \(0{,}000002\) нм (допустимы и другие единицы или выражение в частоте, например \(1{,}5\cdot10^{14}\) ГГц). Это находится в области рентгеновского излучения.
E.2. Гравитационная потенциальная энергия массы \(m\): \(W = -GMm/r\). Наименьший радиус, до которого доходит частица, — шварцшильдовский, поэтому \(W = -\dfrac{GMmc^2}{2GM} = -\dfrac{mc^2}{2}\). Таким образом, одна солнечная масса даёт около \(1{,}8\cdot10^{47}\) Дж/год \(\approx 5{,}7\cdot10^{39}\) Дж/с. Это всё ещё на порядок больше, чем нужно для 3C 273, так что остаётся запас на эффективность.
Часть F. F.1. Минимум найдём, приравняв производную нулю: \[\frac{dU}{dB} = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dU_e}{dB} + \frac{dU_b}{dB} = 0.\] Отдельно: \[\frac{dU_e}{dB} = -\frac{3}{2}B^{-5/2} = -\frac{3}{2}\frac{U_e}{B}, \qquad \frac{dU_b}{dB} = 2B = \frac{2U_b}{B}.\] Тогда \(\dfrac{dU}{dB} = -\dfrac{3}{2}\dfrac{U_e}{B} + \dfrac{2U_b}{B} = 0\), откуда \[\frac{U_e}{U_b} = \frac{4}{3}.\]
F.2. Полная энергия \(U = U_e + U_b = \dfrac{7}{3}U_b\). Если \(U = \dfrac{1}{2}\cdot10^{38}\) Дж, то магнитная энергия \(U_b = \dfrac{3}{14}\cdot10^{38}\) Дж. Для объёма \(10^{45}\) м\(^3\) плотность энергии \(u_b = \dfrac{\frac{3}{14}\cdot10^{38}\ \text{Дж}}{10^{45}\ \text{м}^3} = 0{,}21\cdot10^{-7}\) Дж/м\(^3\). Так как \(u = \dfrac{B^2}{2\mu}\), с \(\mu = 4\pi\cdot10^{-7}\) Тл м/А: \[B = \sqrt{2\mu u_b} = \sqrt{2\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot0{,}21\cdot10^{-7}} \approx 2{,}3\cdot10^{-7}\ \text{Тл}.\]
Водород и галактики
8/10Эта задача посвящена особенностям физики галактик: их динамике и структуре. В частности, мы объясним, как изнутри измерить распределение массы нашей Галактики. Для этого мы сосредоточимся на водороде, её главной составной части.
Во всей задаче мы будем использовать только \(\hbar = h/2\pi\).
Часть A. Введение
Модель Бора. Считаем, что атом водорода состоит из нерелятивистского электрона массы \(m_e\), движущегося вокруг неподвижного протона. Во всей этой части считаем, что движение электрона происходит по круговой орбите.
A.1. Определите скорость \(v\) электрона на круговой орбите радиуса \(r\). (0,2 балла)
В модели Бора модуль момента импульса электрона \(L\) квантован: \(L = n\hbar\), где \(n > 0\) — целое число. Определим \[\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} \approx 7{,}27\cdot 10^{-3}.\]
A.2. Покажите, что радиус каждой орбиты задаётся формулой \(r_n = n^2 r_1\), где \(r_1\) называется боровским радиусом. Выразите \(r_1\) через \(\alpha\), \(m_e\), \(c\) и \(\hbar\) и вычислите его численное значение с тремя значащими цифрами. Выразите \(v_1\) — скорость на орбите радиуса \(r_1\) — через \(\alpha\) и \(c\). (0,5 балла)
A.3. Определите механическую энергию электрона \(E_n\) на орбите радиуса \(r_n\) через \(e\), \(\varepsilon_0\), \(r_1\) и \(n\). Определите \(E_1\) в основном состоянии через \(\alpha\), \(m_e\) и \(c\). Вычислите её численное значение в эВ. (0,5 балла)
Тонкая и сверхтонкая структура водорода. Редкое спонтанное обращение спина электрона приводит к испусканию фотона в среднем раз в 10 миллионов лет на каждый атом водорода. Это излучение служит индикатором водорода во Вселенной и поэтому фундаментально важно в астрофизике. Переход, ответственный за это излучение, мы изучим в два этапа.
Сначала рассмотрим взаимодействие спина электрона с относительным движением электрона и протона. Работая в системе отсчёта электрона, протон обращается вокруг электрона на расстоянии \(r_1\). Это создаёт магнитное поле \(\vec B_1\).
A.4. Определите модуль \(B_1\) вектора \(\vec B_1\) в положении электрона через \(\mu_0\), \(e\), \(\alpha\), \(c\) и \(r_1\). (0,5 балла)
Во-вторых, спин электрона создаёт магнитный момент \(\vec{\mathcal M}_s\). Его модуль приблизительно равен \(\mathcal M_s = \dfrac{e}{m_e\hbar}\). Тонкая (F) структура связана с разностью энергий \(\Delta E_F\) между электроном с магнитным моментом \(\vec{\mathcal M}_s\), параллельным \(\vec B_1\), и электроном с \(\vec{\mathcal M}_s\), антипараллельным \(\vec B_1\). Аналогично сверхтонкая (HF) структура связана с разностью энергий \(\Delta E_{HF}\), обусловленной взаимодействием параллельных и антипараллельных магнитных моментов электрона и протона. Известно, что приближённо \(\Delta E_{HF} \simeq 3{,}72\,\dfrac{m_e}{m_p}\,\Delta E_F\), где \(m_p\) — масса протона.
A.5. Выразите \(\Delta E_F\) через \(\alpha\) и \(E_1\). Выразите длину волны \(\lambda_{HF}\) фотона, испущенного при переходе между двумя состояниями сверхтонкой структуры, и дайте её численное значение с двумя значащими цифрами. (0,5 балла)
Часть B. Кривые вращения галактик
Данные: 1 кпк \(= 3{,}09\cdot 10^{19}\) м; масса Солнца \(1\,M_\odot = 1{,}99\cdot 10^{30}\) кг.
Рассмотрим сферическую галактику, центрированную в неподвижной точке \(O\). В любой точке \(P\) пусть \(\rho = \rho(P)\) — объёмная плотность массы, а \(\varphi = \varphi(P)\) — связанный с ней гравитационный потенциал (то есть потенциальная энергия на единицу массы). Оба \(\rho\) и \(\varphi\) зависят только от \(r = \|\overrightarrow{OP}\|\). Движение массы \(m\), находящейся в точке \(P\) под действием поля \(\varphi\), ограничено плоскостью, содержащей \(O\).
B.1. Для случая круговой орбиты определите скорость \(v_c\) объекта на круговой орбите, проходящей через \(P\), через \(r\) и \(\dfrac{d\varphi}{dr}\). (0,2 балла)
Рис. 1(A) — фотография спиральной галактики NGC 6946 в видимом диапазоне (получена 0,8-метровым телескопом Шульмана в Центре неба Маунт-Леммон в Аризоне). Маленькие эллипсы на рис. 1(B) показывают экспериментальные измерения \(v_c\) для этой галактики. Центральная область (\(r < 1\) кпк) называется балджем. В этой области распределение массы примерно однородно. Красная кривая — предсказание для \(v_c\), если бы система была однородной в балдже и кеплеровской (\(\varphi(r) = -\beta/r\) при \(\beta > 0\)) вне его, то есть если считать, что вся масса галактики сосредоточена в балдже.
Рис. 1: Галактика NGC 6946: фотография (A) и кривая вращения (B). На рисунке: 18 kpc — 18 кпк; \(r\) [kpc] — \(r\) [кпк]; \(v_c\) [km/s] — \(v_c\) [км/с].
B.2. Определите по красной кривой на рис. 1(B) массу \(M_b\) балджа NGC 6946 в единицах массы Солнца. (0,5 балла)
Сравнение кеплеровской модели с экспериментальными данными убеждает астрономов, что часть массы невидима на снимке. Поэтому они предполагают, что истинная плотность массы галактики задаётся формулой \[\rho_m(r) = \frac{C_m}{r_m^2 + r^2}, \tag{1}\] где \(C_m > 0\) и \(r_m > 0\) — постоянные.
B.3. Покажите, что профиль скорости \(v_{c,m}(r)\), соответствующий плотности массы (1), можно записать в виде \[v_{c,m}(r) = \sqrt{\,k_1 - k_2\,\frac{\arctan(r/r_m)}{r}\,}.\] Выразите \(k_1\) и \(k_2\) через \(C_m\), \(r_m\) и \(G\). Упростите \(v_{c,m}(r)\) при \(r \ll r_m\) и при \(r \gg r_m\). Покажите, что если \(r \gg r_m\), то масса \(M_m(r)\), заключённая в сфере радиуса \(r\) с плотностью (1), упрощается и зависит только от \(C_m\) и \(r\). Оцените массу галактики NGC 6946, фактически присутствующую на рис. 1(A). (1,8 балла)
Подсказки из условия: \(\displaystyle\int_0^r \frac{x^2}{a^2+x^2}\,dx = r - a\arctan(r/a)\); \(\arctan x \simeq x - x^3/3\) при \(x \ll 1\).
Часть C. Распределение массы в нашей Галактике
Для спиральной галактики модель (1) модифицируется, и обычно считают, что гравитационный потенциал задаётся формулой \[\varphi_G(r,z) = \varphi_0 \ln\!\left(\frac{r}{r_0}\right)\exp\!\left[-\left(\frac{z}{z_0}\right)^2\right],\] где \(z\) — расстояние до галактической плоскости (определяемой условием \(z = 0\)), \(r < r_0\) — теперь осевой радиус, а \(\varphi_0 > 0\) — константа, которую предстоит определить. \(r_0\) и \(z_0\) — постоянные.
C.1. Найдите уравнение движения по \(z\) для вертикального движения точечной массы \(m\) в таком потенциале, считая \(r\) постоянным. Покажите, что при \(r < r_0\) галактическая плоскость является устойчивым положением равновесия, найдя угловую частоту \(\omega_0\) малых колебаний около неё. (0,5 балла)
Далее полагаем \(z = 0\).
C.2. Определите режим, \(r \gg r_m\) или \(r \ll r_m\), в котором модель (1) воспроизводит потенциал вида \(\varphi_G(r,0)\) с подходящим определением \(\varphi_0\). В этом случае \(v_c(r)\) уже не зависит от \(r\). Выразите его через \(\varphi_0\). (0,6 балла)
Итак, вне балджа модуль скорости \(v_c\) не зависит от расстояния до центра галактики. Мы будем использовать этот факт, как это делают астрономы, чтобы измерить распределение массы галактики изнутри.
Все галактические объекты, рассматриваемые здесь для астрономических наблюдений, например звёзды или туманности, в основном состоят из водорода. Вне балджа будем считать, что они вращаются по круговым орбитам вокруг центра галактики \(C\). \(S\) — положение Солнца, \(E\) — положение данного галактического объекта, излучающего в водородном спектре. В галактической плоскости рассмотрим луч зрения \(SE\), соответствующий направлению наблюдения, с единичным вектором \(\vec u_v\) (см. рис. 2).
Рис. 2: Геометрия измерения.
Пусть \(\ell\) — галактическая долгота, измеряемая как угол между \(SC\) и \(SE\). Скорость Солнца на его круговой орбите радиуса \(R_\odot = 8{,}00\) кпк обозначена \(\vec v_\odot\). Галактический объект в \(E\) движется по другой окружности радиуса \(R\) со скоростью \(\vec v_E\). Используя эффект Доплера на ранее изученной линии 21 см, можно получить относительную радиальную скорость \(v_{rE/S}\) излучателя \(E\) относительно Солнца \(S\): это проекция \(\vec v_E - \vec v_\odot\) на луч зрения.
C.3. Определите \(v_{rE/S}\) через \(\ell\), \(R\), \(R_\odot\) и \(v_\odot\). Затем выразите \(R\) через \(R_\odot\), \(v_\odot\), \(\ell\) и \(v_{rE/S}\). (0,7 балла)
С помощью радиотелескопа мы наблюдаем в плоскости нашей Галактики в направлении долготы \(\ell = 30^\circ\). Используемый диапазон частот содержит линию 21 см, частота которой \(f_0 = 1{,}42\) ГГц. Результаты приведены на рис. 3.
Рис. 3: Электромагнитный сигнал как функция сдвига частоты, измеренный в радиочастотном диапазоне при \(\ell = 30^\circ\) с использованием EU-HOU RadioAstronomy. На рисунке: Flux [arbitrary units] — поток [произв. ед.]; \(f - f_0\) [MHz] — \(f - f_0\) [МГц].
C.4. В нашей Галактике \(v_\odot = 220\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\). Определите значения относительной радиальной скорости (с 3 значащими цифрами) и расстояния от центра Галактики (с 2 значащими цифрами) для трёх источников, наблюдаемых на рис. 3. Расстояния выразите в кратных \(R_\odot\). (0,6 балла)
C.5. На виде сверху нашей Галактики (в поле ответа) отметьте положения источников, наблюдаемых на рис. 3. Что можно вывести из повторных измерений при изменении \(\ell\)? (0,6 балла)
Часть D. Соотношение Талли–Фишера и теория MOND
Плоская внешняя кривая скорости NGC 6946 на рис. 1 — общее свойство спиральных галактик, что видно на рис. 4 (слева). Если построить зависимость постоянного внешнего значения скорости \(v_{c,\infty}\) от измеренной полной массы \(M_{\rm tot}\) каждой галактики, получается интересная корреляция, называемая соотношением Талли–Фишера, см. рис. 4 (справа).
Рис. 4. Слева: кривые вращения типичных спиральных галактик. Справа: \(\log_{10}(M_{\rm tot})\) как функция \(\log_{10}(v_{c,\infty})\) в линейном масштабе. Цветные точки соответствуют разным галактикам и разным обзорам. Зелёная линия — соотношение Талли–Фишера, очень хорошо согласующееся с наилучшей подгонкой данных (чёрная линия). На рисунке: Spiral galaxies from different surveys — спиральные галактики из разных обзоров; Tully Fischer Relation — соотношение Талли–Фишера; \(V\) (km s\(^{-1}\)) — \(V\) (км\(\cdot\)с\(^{-1}\)); \(R\) (kpc) — \(R\) (кпк); \(\log_{10}(M_{\rm tot}/M_\odot)\), \(\log_{10}(v_{c,\infty}/1\ \text{km/s})\) — без изменений.
D.1. Предполагая, что радиус \(R\) галактики не зависит от её массы, покажите, что модель (1) из части B даёт соотношение вида \(M_{\rm tot} = \eta\, v_{c,\infty}^{\gamma}\), где \(\gamma\) и \(\eta\) нужно указать. Сравните это выражение с соотношением Талли–Фишера, вычислив \(\gamma_{TF}\). (0,4 балла)
В режиме экстремально малых ускорений порядка \(a_0 = 10^{-10}\) м\(\cdot\)с\(^{-2}\) теория модифицированной ньютоновской динамики (MOND) предполагает, что второй закон Ньютона можно изменить так: \(\vec F = m\,\mu\!\left(\dfrac{a}{a_0}\right)\vec a\), где \(a = \|\vec a\|\) — модуль ускорения, а функция \(\mu\) определена как \(\mu(x) = \dfrac{x}{1+x}\).
D.2. Используя данные для NGC 6946 с рис. 1, оцените в рамках ньютоновской теории модуль ускорения \(a_m\) массы во внешних областях NGC 6946. (0,2 балла)
D.3. Пусть \(m\) — масса на круговой орбите радиуса \(r\) со скоростью \(v_{c,\infty}\) в гравитационном поле неподвижной массы \(M\). В рамках теории MOND при \(a \ll a_0\) определите показатель соотношения Талли–Фишера. Используя данные для NGC 6946 и/или закон Талли–Фишера, вычислите \(a_0\), чтобы показать, что MOND работает в правильном режиме. (0,8 балла)
D.4. Рассмотрев релевантные случаи, определите \(v_c(r)\) для всех значений \(r\) в теории MOND для гравитационного поля, создаваемого однородно распределённой массой \(M\) с радиусом \(R_b\). (0,9 балла)
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаДля круговой орбиты центростремительное ускорение задаётся скоростью и радиусом; подставьте его в модифицированный второй закон Ньютона. Для части C сравните потенциал с законом Гаусса для гравитации, а для части D рассмотрите предельные случаи \(a \ll a_0\) и \(a \gg a_0\).
ОтветA.1) \(v = \sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}\); A.2) \(r_1 = \dfrac{\hbar}{\alpha m_e c}\approx 5{,}31\cdot10^{-11}\text{ м}\); \(v_1 = \alpha c\); A.3) \(E_n = -\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 n^2 r_1}\); \(E_1 = -\dfrac12\alpha^2 m_e c^2 \approx -2{,}17\cdot10^{-18}\) Дж \(= -13{,}6\) эВ; A.4) \(B_1 = \dfrac{\mu_0 e\alpha c}{4\pi r_1^2}\); A.5) \(\Delta E_F = -4\alpha^2E_1\), \(\lambda_{HF} = \dfrac{hc}{\Delta E_{HF}}\approx 21\) см; B.1) \(v_c = \sqrt{r\,\dfrac{d\varphi}{dr}}\); B.2) \(M_b \approx 9\cdot10^{8}\,M_\odot\) (\(\approx 1{,}8\cdot10^{39}\) кг); B.3) \(k_1 = 4\pi C_m G\), \(k_2 = 4\pi C_m G\,r_m\); при \(r\ll r_m\): \(v_{c,m}\simeq\sqrt{\dfrac{4\pi C_m G r^2}{3r_m^2}}\); при \(r\gg r_m\): \(v_{c,m}\simeq\sqrt{4\pi C_m G}\); \(M_m(r)\simeq 4\pi C_m r\); \(C_m\simeq 3\cdot10^{19}\) кг/м, \(M\simeq 10^{41}\) кг \(\simeq 10^{11}\,M_\odot\); C.1) \(\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\varphi_0}{z_0^2}\left|\ln\dfrac{r}{r_0}\right|}\); C.2) \(r\gg r_m\), \(\varphi_0 = 4\pi C_m G\), \(v_c = \sqrt{\varphi_0}\); C.3) \(v_{rE/S} = v_\odot\left(\dfrac{R_\odot}{R}-1\right)\sin\ell\), \(R = \dfrac{R_\odot}{1+\dfrac{v_{rE/S}}{v_\odot\sin\ell}}\); C.4) \(v_r = 6{,}33;\ 31{,}7;\ 54{,}9\) км/с; \(R = 0{,}95R_\odot;\ 0{,}78R_\odot;\ 0{,}67R_\odot\); C.5) см. решение (положения на виде сверху; повторные измерения при разных \(\ell\) позволяют восстановить распределение водорода, т.е. спиральную структуру); D.1) \(\gamma = 2\), \(\eta = R/G\); \(\gamma_{TF}\approx 3{,}75\); D.2) \(a_m\approx 1{,}5\cdot10^{-10}\) м\(\cdot\)с\(^{-2}\); D.3) \(\gamma_{\rm MOND} = 4\), \(M = \dfrac{v_{c,\infty}^4}{a_0 G}\), \(a_0\approx 1{,}5\cdot10^{-10}\) м\(\cdot\)с\(^{-2}\); D.4) см. решение.
РешениеA.1. Второй закон Ньютона для электрона в электрическом поле протона при круговой орбите, спроецированный на \(\vec u_r\): \(-m_e\dfrac{v^2}{r} = -\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\), откуда \(v = \sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}\).
A.2. Квантование дает \(L = m_e r_n v_n = n\hbar\). Из предыдущего пункта \(v_n = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r_n} = \dfrac{\alpha\hbar c}{m_e r_n}\). Тогда \(r_n = \dfrac{n\hbar}{m_e v_n} = \dfrac{\hbar n^2}{\alpha m_e c}\), откуда \(r_1 = \dfrac{\hbar}{\alpha m_e c}\). Численно \(\alpha = 7{,}27\cdot10^{-3}\) и \(r_1 = 5{,}31\cdot10^{-11}\) м. Для скорости имеем \(m_e v_1^2 = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_1} = \dfrac{e^2 m_e v_1}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\), откуда \(v_1 = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar} = \alpha c\).
A.3. Механическая энергия \(E_n = \dfrac12 m_e v_n^2 - \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n} = -\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_n}\), то есть \(E_n = -\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 n^2 r_1}\). Для основного состояния \(E_1 = -\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_1}\). Используя выражение для \(\alpha\), получаем \(E_1 = -\dfrac12\alpha^2 m_e c^2\). Численно \(E_1 = -2{,}17\cdot10^{-18}\) Дж, что соответствует \(E_1 = -13{,}6\) эВ.
A.4. Период движения \(T = \dfrac{2\pi r_1}{v_1}\); ток, связанный с орбитой протона, \(i = \dfrac{e}{T} = \dfrac{e v_1}{2\pi r_1} = \dfrac{e\alpha c}{2\pi r_1}\). Магнитное поле витка с током \(i\) и радиусом \(R\) равно \(B = \dfrac{\mu_0 i}{2R}\), что здесь даёт \(B_1 = \dfrac{\mu_0 e\alpha c}{4\pi r_1^2}\).
A.5. Потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента спина с полем ядра: \(E_p = -\vec{\mathcal M}_s\cdot\vec B_1\). Разность энергий двух состояний спина, параллельного и антипараллельного \(\vec B_1\), равна \(\Delta E_F = 2\mathcal M_s B_1 = 2\dfrac{e}{m_e\hbar}\dfrac{\mu_0 e\alpha c}{4\pi r_1^2}\), что записывается как \(\Delta E_F = -4\alpha^2E_1\). Тогда \(\Delta E_{HF} = -3{,}72\,\dfrac{m_e}{m_p}\,4\alpha^2E_1\) и \(\lambda_{HF} = \dfrac{hc}{\Delta E_{HF}} = -\dfrac{hc}{3{,}72\,\dfrac{m_e}{m_p}\,4\alpha^2E_1}\), численно \(\lambda_{HF} = 21\) см.
B.1. Сила, создаваемая потенциалом: \(\vec F = -m\vec\nabla\varphi(r) = -m\dfrac{d\varphi}{dr}\vec u_r\). Второй закон Ньютона для круговой орбиты: \(m\dfrac{v_c^2}{r} = m\dfrac{d\varphi}{dr}\), откуда \(v_c = \sqrt{r\,\dfrac{d\varphi}{dr}}\).
B.2. По теореме Гаусса \(4\pi r^2 g(r) = -4\pi G M_{\rm int}(r)\), то есть \(g(r) = GM_{\rm int}(r)/r^2\) (можно также воспользоваться законом \(g = GM/r^2\) и использовать внутреннюю массу). Если почти вся масса сосредоточена внутри радиуса балджа \(r_b\), то при \(r > r_b\) имеем \(M_{\rm int}(r) = M_b\) и \(\vec g(r > r_b) = -\dfrac{GM_b}{r^2}\vec u_r\); так как \(\vec g = -\dfrac{d\varphi}{dr}\vec u_r\), получаем \(v_c(r > r_b) = \sqrt{\dfrac{GM_b}{r}}\). Если скорость задаётся только балджем, то на расстоянии \(R\) должно быть \(M_b = v_c^2 R/G\). По красной кривой на рис. 1(B) при \(R = 10\) кпк читается \(v_c = 20\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\), откуда \(M_b = \dfrac{v_c^2 R}{G} \simeq \dfrac{4\cdot10^{8}\cdot 3{,}1\cdot10^{20}}{6{,}7\cdot10^{-11}}\simeq 1{,}8\cdot10^{39}\) кг, то есть \(M_b\simeq 9\cdot10^{8}\,M_\odot\).
B.3. По теореме Гаусса \(g_m(r) = \dfrac{GM_{\rm int}(r)}{r^2}\); с другой стороны, \(M_{\rm int} = \int_0^r 4\pi x^2\rho_m(x)\,dx = 4\pi C_m\left(r - r_m\arctan\dfrac{r}{r_m}\right)\), поэтому \[g_m(r) = -\frac{4\pi C_m G\left(r - r_m\arctan\frac{r}{r_m}\right)}{r^2}. \tag{2}\] Из \(m\dfrac{v_{c,m}^2}{r} = m\,|g_m(r)|\) получаем \(v_{c,m} = \sqrt{r\,|g_m(r)|}\): \[v_{c,m}(r) = \sqrt{\frac{4\pi C_m G}{r}\left(r - r_m\arctan\frac{r}{r_m}\right)}. \tag{3}\] Отсюда \(k_1 = 4\pi C_m G\) и \(k_2 = 4\pi C_m G\,r_m\). Два предельных случая: при \(r \ll r_m\) разложение \(\arctan\) до третьего порядка даёт \(v_{c,m}\simeq\sqrt{\dfrac{4\pi C_m G\,r^2}{3\,r_m^2}}\), а при \(r\gg r_m\) имеем \(\arctan(r/r_m)\simeq\pi/2\) и \(v_{c,m}\simeq\sqrt{4\pi C_m G}\). Функция \(v_{c,m}(r)\) обращается в ноль при \(r\to 0\) и асимптотически постоянна при \(r\to\infty\), что соответствует наблюдаемой кривой галактики (чёрные кружки в правой части рис. 1(B)). Естественно интерпретировать \(r_m\) как типичный радиус, за пределами которого круговая скорость постоянна. По рисунку читаем \(v_c\simeq 160\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\) для постоянного значения после \(r_m\), откуда \(C_m = \dfrac{v_c^2}{4\pi G}\simeq\dfrac{(1{,}6\cdot10^5)^2}{4\pi\cdot 6{,}67\cdot10^{-11}}\simeq 3\cdot10^{19}\) кг\(\cdot\)м\(^{-1}\). Масса внутри сферы радиуса \(r\) равна \(M_{\rm int} = 4\pi C_m\left(r - r_m\arctan\frac{r}{r_m}\right)\), что при \(r\gg r_m\) сводится к \(M_{\rm int}\simeq 4\pi C_m r\). На рисунке радиус галактики \(R = 9\) кпк \(= 2{,}27\cdot10^{20}\) м, поэтому масса \(M_{\rm int}\simeq 4\pi C_m R\simeq 10^{41}\) кг \(\simeq 10^{11}\,M_\odot\). Это более чем в десять раз больше массы, видимой на снимке: это и есть концепция тёмной материи.
C.1. Уравнение движения по второму закону Ньютона \(m\vec a = \vec F = -m\vec\nabla\varphi\); проецируя на \(\vec u_z\): \(m\ddot z = -m\dfrac{\partial\varphi}{\partial z}\). Для данного потенциала \(\ddot z = \dfrac{2z}{z_0^2}\varphi_0\ln\dfrac{r}{r_0}\exp\left[-\left(\dfrac{z}{z_0}\right)^2\right]\). Вблизи галактической плоскости экспонента равна единице, и \(\ddot z \simeq \dfrac{2\varphi_0}{z_0^2}\ln\dfrac{r}{r_0}\,z\). При \(r<r_0\) логарифм отрицателен, и уравнение имеет вид \(\ddot z\simeq-\omega_0^2 z\) с \(\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\varphi_0}{z_0^2}\left|\ln\dfrac{r}{r_0}\right|}\). Это доказывает, что \(z\) колеблется около \(z = 0\) и что движение устойчиво.
C.2. По формуле (2) из части B при \(r\gg r_m\) имеем \(g_m(r)\simeq -\dfrac{4\pi C_m G}{r}\). Интегрированием получаем \(\varphi(r) = 4\pi C_m G\ln r + \text{const}\); константу выбираем правильным выбором начала отсчёта потенциала. Это совпадает с \(\varphi_G(r,0) = \varphi_0\ln(r/r_0)\) при \(\varphi_0 = 4\pi C_m G\). Тогда в галактической плоскости уравнение движения даёт \(-m\dfrac{v_c^2}{r} = -m\,g_m(r)\), откуда \(v_c = \sqrt{r\,g_m(r)} = \sqrt{4\pi C_m G}\), то есть \(v_c = \sqrt{\varphi_0}\).
C.3. Вектор \(\overrightarrow{Ss} = v_\odot\sin\alpha\,\vec u_v\) и \(\overrightarrow{Ee} = v_E\cos\beta\,\vec u_v\). В прямоугольном треугольнике \(S s S_v\) сумма углов даёт \((\overrightarrow{Ss}, \overrightarrow{SS_v}) = \dfrac{\pi}{2}-\alpha\); так как \(\vec v_\odot\) перпендикулярна радиусу \(CS\), также \((\overrightarrow{Ss}, \overrightarrow{SS_v}) = \dfrac{\pi}{2}-\ell\), откуда \(\alpha = \ell\). С другой стороны, \(CT = R_\odot\sin\ell = R\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\beta\right)\), что даёт \(\cos\beta = \dfrac{R_\odot}{R}\sin\ell\). Объединяя эти результаты и учитывая, что \(v_E = v_\odot\) и \(\vec v_{rE/S} = \overrightarrow{Ee} - \overrightarrow{Ss}\), получаем \(v_{rE/S} = v_\odot\left(\dfrac{R_\odot}{R}-1\right)\sin\ell\), и окончательно \(R = \dfrac{R_\odot}{1+\dfrac{v_{rE/S}}{v_\odot\sin\ell}}\).
C.4. На рис. 3 измеряем три сдвига частоты \((f - f_0)\) для пиков: \(\Delta f_1 = 0{,}03\) МГц, \(\Delta f_2 = 0{,}15\) МГц и \(\Delta f_3 = 0{,}26\) МГц. Относительные доплеровские скорости \(v_{r,i} = c\,\Delta f_i/f_0\) при \(f_0 = 1420\) МГц: \(v_{r,1} = 6{,}33\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\), \(v_{r,2} = 31{,}7\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\), \(v_{r,3} = 54{,}9\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\). Поскольку пики приходятся на узлы сетки, допустим разброс значений, связанный с тем, что участники могли использовать \(c = 3{,}00\cdot10^{8}\) м/с вместо девяти знаков из справочника. Расстояния от центра галактики \(R_i = \dfrac{R_\odot}{1+\dfrac{v_{r,i}}{v_\odot\sin\ell}}\) при \(\ell = 30^\circ\): \(R_1 = 0{,}95R_\odot\), \(R_2 = 0{,}78R_\odot\), \(R_3 = 0{,}67R_\odot\).
C.5. Правильную линию зрения можно построить геометрически (без транспортира): по делениям сетки 15° откладываем угол 30° от перпендикуляра к \(CS\); получаем линию, проходящую через \(S\) и касающуюся окружности радиуса \(CS/2\) (так как \(\sin 30° = 0{,}5\)). Проведя окружности радиусов \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) и линию зрения, для каждого пика получаем две возможные точки пересечения: ближнюю и дальнюю. На рисунке ответа отмечены ближние. Дальние пересечения гораздо дальше и, следовательно, вероятно менее интенсивны. Астрономы могут также использовать изменение радиосигнала при медленном изменении \(\ell\), чтобы определить истинное положение источника. При непрерывном изменении \(\ell\) в интервале \([0, 2\pi]\) появляются источники водорода в Галактике; поскольку Галактика состоит в основном из водорода, можно проследить её распределение массы, то есть спиральную структуру.
D.1. Мы получили \(v_{c,\infty}^2 = 4\pi C_m G\), а для галактики радиуса \(R\) имеем \(M_{\rm tot}\simeq 4\pi C_m R\). Отсюда \(C_m = \dfrac{M_{\rm tot}}{4\pi R}\) и \(v_{c,\infty}^2 = \dfrac{G M_{\rm tot}}{R}\), то есть \(M_{\rm tot} = \dfrac{R}{G}v_{c,\infty}^2\). Это соотношение вида \(M_{\rm tot} = \eta v_{c,\infty}^\gamma\) с \(\gamma = 2\) и \(\eta = R/G\). По данным анализа соотношения Талли–Фишера показатель \(\gamma_{TF}\simeq\dfrac{12-9}{2{,}6-1{,}8} = 3{,}75\): модель из части B не воспроизводит этот закон.
D.2. В ньютоновской теории для круговых внешних орбит \(a_m\simeq v_c^2/R\). Для NGC 6946 скорость примерно постоянна и равна \(v_c = 160\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\) при \(R > 5\) кпк. Для наименьшего такого расстояния \(a_m = \dfrac{(1{,}6\cdot10^5)^2}{5\cdot3{,}09\cdot10^{19}}\simeq 1{,}5\cdot10^{-10}\) м\(\cdot\)с\(^{-2}\) — это максимальное ускорение, которое испытывает звезда во внешних областях этой галактики. Оно соответствует режиму MOND.
D.3. При \(x = a/a_0\ll 1\) имеем \(\mu(x)\simeq x\) и теория MOND даёт \(\vec F = m\dfrac{a}{a_0}\vec a\). Для радиальной компоненты взаимодействия массы \(m\) с \(M\): \(\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{m a^2}{a_0}\). Радиальное ускорение на круговой орбите радиуса \(r\) всегда \(a = v_{c,\infty}^2/r\), поэтому \(\dfrac{GM}{r^2} = \dfrac{v_{c,\infty}^4}{r^2 a_0}\), откуда \(v_{c,\infty} = (a_0 G M)^{1/4}\) и \(M = \dfrac{1}{a_0 G}v_{c,\infty}^4\). Это степенной закон с \(\gamma_{\rm MOND} = 4\), согласующийся с соотношением Талли–Фишера. Для NGC 6946 \(v_{c,\infty} = 160\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\), поэтому \(\log_{10}(v_{c,\infty}/1\text{ км/с}) = 2{,}2\). По соотношению Талли–Фишера \(\log_{10}(M_{\rm tot}/M_\odot) = 10{,}5\), то есть \(M_{\rm tot} = 2{,}1\cdot10^{40{,}5}\) кг. Подставляя в \(a_0 = \dfrac{v_{c,\infty}^4}{G M_{\rm tot}}\), получаем \(a_0 = 1{,}5\cdot10^{-10}\) м\(\cdot\)с\(^{-2}\), как и ожидалось.
D.4. Рассмотрим полную формулу для \(\mu\). Модифицированный второй закон для круговой скорости \(v_c\) на радиусе \(r\) записывается как \(\mathcal G(r)\,m = -m\,\dfrac{v_c^2/(a_0 r)}{1+v_c^2/(a_0 r)}\,\dfrac{v_c^2}{r}\), где \(\mathcal G(r)\) — гравитационное поле однородного шара массы \(M\) и радиуса \(R_b\). Поле шара по теореме Гаусса: \(\mathcal G(r) = -GM/r^2\) при \(r > R_b\) и \(\mathcal G(r) = -GMr/R_b^3\) при \(r\le R_b\).
Вне шара (\(r > R_b\)) скорость \(v_c\) является решением биквадратного уравнения \(v_c^4 - \dfrac{GM}{r}v_c^2 - a_0 GM = 0\), положительный корень которого \[v_c(r) = \sqrt{\frac{GM}{2r}\left(1+\sqrt{1+\frac{4a_0r^2}{GM}}\right)}, \qquad r > R_b.\] При \(r\to\infty\) скорость асимптотически постоянна, а \(M\to\dfrac{v_{c,\infty}^4}{a_0 G}\), что соответствует соотношению Талли–Фишера.
Внутри шара (\(r\le R_b\)) аналогичные преобразования дают другое биквадратное уравнение \(v_c^4 - \dfrac{GM}{r}\left(\dfrac{r}{R_b}\right)^3 v_c^2 - a_0 GM\left(\dfrac{r}{R_b}\right)^3 = 0\), положительное решение которого \[v_c(r) = \sqrt{\frac{GM}{2r}\left(\frac{r}{R_b}\right)^3\left[1+\sqrt{1+\frac{4a_0r^2}{GM}\left(\frac{R_b}{r}\right)^3}\right]}, \qquad r\le R_b.\] При \(r\to 0\) имеем \(v_c\to 0\), как и в экспериментальных данных.