Скорость огибающей радиосигнала

Разложите модулированный сигнал на сумму трёх гармоник с частотами \(\omega_0\), \(\omega_0\pm\omega_1\). Каждая бежит со своей скоростью; сложите их обратно в произведение и найдите, как движется фаза огибающей.

\(c=\dfrac{c_0}{1+\gamma\omega_0/c_0}\approx c_0-\gamma\omega_0\).

Представим сигнал в виде суммы трех гармонических составляющих

\[E = E_0 \cos \omega_0 t (1 + a \cos \omega_1 t) =\]

\[= E_0 \cos \omega_0 t + \frac{a E_0}{2} \cos (\omega_0 - \omega_1) t + \frac{a E_0}{2} \cos (\omega_0 + \omega_1) t.\tag{1}\]

Распространение монохроматической волны в пространстве вдоль оси \(x\) описывается функцией

\[E(t, x) = E_0 \cos \left( \omega t - \frac{2\pi}{\lambda} x \right) = E_0 \cos \left( \omega t - \frac{\omega}{c} x \right),\tag{2}\]

где \(c\) - скорость распространения волны с частотой \(\omega\). Применим эту формулу к сигналу (1), учитывая формулу для скорости распространения волн

\[E(t, x) = E_0 \cos \left( \omega_0 t - \frac{\omega_0}{c_0} x \right) +\]

\[+ \frac{a E_0}{2} \cos \left( (\omega_0 - \omega_1) t - \frac{(\omega_0 - \omega_1) x}{c_0 + \gamma \omega_1} \right) + \frac{a E_0}{2} \cos \left( (\omega_0 + \omega_1) t - \frac{(\omega_0 + \omega_1) x}{c_0 - \gamma \omega_1} \right)\]

Далее упростим это выражение, используя малость величин \(\frac{\omega_1}{\omega_0}, \frac{\gamma \omega_1}{c_0} \ll 1\). Тогда

\[\frac{(\omega_0 - \omega_1) x}{c_0 + \gamma \omega_1} = \frac{x \omega_0}{c_0} \cdot \frac{1 - \frac{\omega_1}{\omega_0}}{1 + \gamma \frac{\omega_1}{c_0}} \approx \frac{x \omega_0}{c_0} \left( 1 - \frac{\omega_1}{\omega_0} - \gamma \frac{\omega_1}{c_0} \right);\]

\[\frac{(\omega_0 + \omega_1) x}{c_0 - \gamma \omega_1} \approx \frac{x \omega_0}{c_0} \left( 1 + \frac{\omega_1}{\omega_0} + \gamma \frac{\omega_1}{c_0} \right);\]

Воспользуемся теперь обратным преобразованием от суммы косинусов к их произведению

\[E ( t , x ) = E _ { 0 } \, c o s \left( \omega _ { 0 } t - \frac { \omega _ { 0 } } { c _ { 0 } } x \right) \left( 1 + a \, c o s \left( \omega _ { 1 } t - \frac { \omega _ { 0 } } { c _ { 0 } } x \left( \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { 0 } } + \gamma \frac { \omega _ { 1 } } { c _ { 0 } } \right) \right) \right) .\]

Скорость распространения сигнала можно найти из условия постоянства фазы (полагая ее равной, например, нулю). Окончательно получаем, что искомая скорость распространения огибающей (полезного сигнала)

\[c = { \frac { x } { t } } = { \frac { \omega _ { 1 } } { \displaystyle { \frac { \omega _ { 0 } } { c _ { 0 } } } \left( { \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { 0 } } } + \gamma { \frac { \omega _ { 1 } } { c _ { 0 } } } \right) } } = { \frac { c _ { 0 } } { 1 + \gamma \displaystyle { \frac { \omega _ { 0 } } { c _ { 0 } } } } } \approx c _ { 0 } \left( 1 - \gamma \displaystyle { \frac { \omega _ { 0 } } { c _ { 0 } } } \right) .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.