Столкновение атомов водорода

Неупругий удар возможен, только если кинетической энергии атомов в системе центра масс хватает на возбуждение атома на первый возбуждённый уровень. Частоты, измеренные в двух направлениях, различаются из-за эффекта Доплера.

Согласно модели Бора, уровни энергии атома водорода задаются формулой \[E_n = -\frac{E_i}{n^2},\] где \(n = 1, 2, 3, \ldots\) Основному состоянию соответствует \(n = 1\), а низшему возбуждённому — \(n = 2\). Таким образом, наименьшая энергия, необходимая для возбуждения атома водорода, \[\Delta E = E_2 - E_1 = E_i\left(1 - \tfrac14\right) = \tfrac34 E_i.\]

При неупругом столкновении часть кинетической энергии сталкивающихся частиц переходит в их внутреннюю энергию. Внутренняя энергия рассматриваемой в задаче системы двух атомов водорода не может измениться меньше чем на \(\Delta E\). Значит, если кинетическая энергия сталкивающихся атомов относительно их центра масс меньше \(\Delta E\), столкновение обязательно упругое. Значение \(v_0\) можно найти, рассмотрев критический случай, когда кинетическая энергия сталкивающихся атомов равна наименьшей энергии возбуждения. Относительно центра масс атомы движутся в противоположных направлениях со скоростями \(\tfrac12 v_0\). Таким образом, \[\frac12 m_H\left(\tfrac12 v_0\right)^2 + \frac12 m_H\left(\tfrac12 v_0\right)^2 = \tfrac34 E_i\] и \[v_0 = \sqrt{\frac{3E_i}{m_H}} \quad (\approx 6{,}26\cdot 10^4\text{ м/с}).\]

Рассмотрим случай \(v = v_0\). Столкновение может быть упругим или неупругим. При упругом столкновении атомы остаются в основных состояниях и не излучают. Излучение возможно только при неупругом столкновении. Разумеется, излучать может только атом, возбуждённый при столкновении. В принципе излучение может быть испущено в любом направлении, но по условию задачи мы должны рассмотреть только излучение в направлении начальной скорости и в противоположном направлении. После неупругого столкновения оба атома движутся (в лабораторной системе) с одинаковыми скоростями, равными \(\tfrac12 v_0\). Пусть \(f\) — частота излучения, испущенного атомом водорода в системе центра масс (т. е. в покое). Из-за эффекта Доплера в лабораторной системе эта частота наблюдается как (\(c\) — скорость света):

а) \(f_1 = \left(1 + \dfrac{\frac12 v_0}{c}\right)f\) — для излучения, испущенного в направлении начальной скорости атома водорода;

б) \(f_2 = \left(1 - \dfrac{\frac12 v_0}{c}\right)f\) — для излучения, испущенного в противоположном направлении.

Среднее арифметическое этих частот равно \(f\). Поэтому искомое отношение \[\frac{\Delta f}{f} = \frac{f_1 - f_2}{f} = \frac{v_0}{c} \quad (\approx 2\cdot 10^{-2}\,\%).\]

В этом решении мы учли, что \(v_0 \ll c\). Иначе пришлось бы пользоваться релятивистскими формулами эффекта Доплера. Мы также пренебрегли отдачей атома (атомов) при излучении. Заметим, что для видимого излучения или излучения не слишком далёкого от видимого диапазона отдача не может заметно изменить численные результаты для критической скорости \(v_0\) и отношения \(\dfrac{\Delta f}{f}\). Отдача важна для квантов высокой энергии, но это не тот случай.