Рекомбинация положительных и отрицательных ионов в ионизированном газе
5/10Введение
Газ состоит из положительных ионов некоторого элемента (при высокой температуре) и электронов. Положительный ион принадлежит атому с неизвестным массовым числом \(Z\). Известно, что у этого иона в оболочке (на орбите) только один электрон.
Обозначим этот ион символом \(\text{A}^{(Z-1)+}\).
Постоянные:
электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}~\dfrac{\text{А}\cdot\text{с}}{\text{В}\cdot\text{м}}\) элементарный заряд \(e = \pm 1{,}602\cdot 10^{-19}~\text{А}\cdot\text{с}\) \(q^2 = \dfrac{e^2}{4\cdot\pi\cdot\varepsilon_0} = 2{,}037\cdot 10^{-28}~\text{Дж}\cdot\text{м}\) постоянная Планка \(\hbar = 1{,}054\cdot 10^{-34}~\text{Дж}\cdot\text{с}\) масса (покоя) электрона \(m_e = 9{,}108\cdot 10^{-31}~\text{кг}\) боровский радиус атома \(r_B = \dfrac{\hbar}{m\cdot q^2} = 5{,}92\cdot 10^{-11}~\text{м}\) энергия Ридберга \(E_R = \dfrac{q^2}{2\cdot r_B} = 2{,}180\cdot 10^{-18}~\text{Дж}\) масса (покоя) протона \(m_P\cdot c^2 = 1{,}503\cdot 10^{-10}~\text{Дж}\) Вопросы
3.1 Пусть у иона в оболочке остался ровно один электрон. \(\text{A}^{(Z-1)+}\) находится в основном состоянии.
В состоянии с наименьшей энергией квадрат среднего расстояния электрона от ядра, или \(r^2\), с составляющими вдоль осей \(x\), \(y\) и \(z\), равными \((\Delta x)^2\), \((\Delta y)^2\) и \((\Delta z)^2\) соответственно, равен \(r_0^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2\), а квадрат среднего импульса — \(p_0^2 = (\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2 + (\Delta p_z)^2\), причём \(\Delta p_x \ge \dfrac{\hbar}{2\cdot\Delta x}\), \(\Delta p_y \ge \dfrac{\hbar}{2\cdot\Delta y}\) и \(\Delta p_z \ge \dfrac{\hbar}{2\cdot\Delta z}\).
Запишите неравенство для \((p_0)^2\cdot(r_0)^2\) в полном виде.
3.2 Ион \(\text{A}^{(Z-1)+}\) может захватить ещё один электрон и при этом испустить фотон.
Запишите уравнение, по которому следует вычислять частоту испущенного фотона.
3.3 Вычислите энергию иона \(\text{A}^{(Z-1)+}\), используя значение наименьшей энергии. Расчёт следует выполнить приближённо, исходя из следующих принципов.
3.3.A Потенциальную энергию иона нужно выразить через среднее значение \(\dfrac{1}{r}\) (т. е. \(\dfrac{1}{r_0}\); \(r_0\) дано в задаче).
3.3.B При вычислении кинетической энергии иона используйте среднее значение квадрата импульса, данное в 3.1, после упрощения \((p_0)^2\cdot(r_0)^2 \approx (\hbar)^2\).
3.4 Вычислите энергию иона \(\text{A}^{(Z-2)+}\) в основном состоянии, используя тот же принцип, что и при вычислении энергии \(\text{A}^{(Z-1)+}\). Средние расстояния каждого из двух электронов во внешней оболочке (такие же, как \(r_0\) из 3.3) обозначены \(r_1\) и \(r_2\); считайте, что среднее расстояние между двумя электронами равно \(r_1 + r_2\), а среднее значение квадрата импульса каждого электрона подчиняется принципу неопределённости, т. е. \[p_1^2\cdot r_1^2 \approx \hbar^2 \quad\text{и}\quad p_2^2\cdot r_2^2 \approx \hbar^2.\] Указание: используйте то, что в основном состоянии \(r_1 = r_2\).
3.5 Рассмотрим, в частности, случай, когда ион \(\text{A}^{(Z-2)+}\) в основном состоянии покоится, захватывая дополнительный электрон, а захваченный электрон до захвата тоже покоился. Определите численное значение \(Z\), если частота испущенного при захвате электрона фотона равна \(2{,}057\cdot 10^{17}\) рад/с. Определите элемент, которому принадлежит ион.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаОцените кинетическую энергию через соотношение неопределённостей \(p \sim \hbar/r\), потенциальную — через \(1/r\), и найдите \(r\) из минимума полной энергии. Для двух электронов добавьте их отталкивание на расстоянии \(2r\). Энергия фотона — разность энергий ионов до и после захвата.
Ответ3.1) \(p_0^2\cdot r_0^2 \ge \dfrac{9}{4}\hbar^2\); 3.2) законы сохранения энергии и импульса (см. решение); 3.3) \(E[\text{A}^{(Z-1)+}] = -E_R\cdot Z^2\); 3.4) \(E[\text{A}^{(Z-2)+}] = -2\cdot E_R\cdot\left(Z - \dfrac{1}{4}\right)^2\); 3.5) \(Z = 4\) — бериллий.
Решение3.1 \[r_0^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2,\] \[p_0^2 = (\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2 + (\Delta p_z)^2;\] так как \[\Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2\cdot\Delta x}, \qquad \Delta p_y \ge \frac{\hbar}{2\cdot\Delta y}, \qquad \Delta p_z \ge \frac{\hbar}{2\cdot\Delta z},\] получаем \[p_0^2 \ge \frac{\hbar^2}{4}\cdot\left[\frac{1}{(\Delta x)^2} + \frac{1}{(\Delta y)^2} + \frac{1}{(\Delta z)^2}\right]\] и \[(\Delta x)^2 = (\Delta y)^2 = (\Delta z)^2 = \frac{r_0^2}{3},\] следовательно, \[p_0^2\cdot r_0^2 \ge \frac{9}{4}\cdot\hbar^2.\]
3.2 \(|\vec v_e|\) — скорость внешнего электрона до захвата;
\(|\vec V_i|\) — скорость \(\text{A}^{(Z-1)+}\) до захвата;
\(|\vec V_f|\) — скорость \(\text{A}^{(Z-1)+}\) после захвата;
\(E_n = h\cdot\nu\) — энергия испущенного фотона.
Закон сохранения энергии: \[\frac{1}{2}\cdot m_e\cdot v_e^2 + \frac{1}{2}\cdot(M + m_e)\cdot V_i^2 + E[\text{A}^{(Z-1)+}] = \frac{1}{2}\cdot(M + 2\cdot m_e)\cdot V_f^2 + E[\text{A}^{(Z-2)+}],\]
где \(E[\text{A}^{(Z-1)+}]\) и \(E[\text{A}^{(Z-2)+}]\) — энергии электронов внешней оболочки ионов \(\text{A}^{(Z-1)+}\) и \(\text{A}^{(Z-2)+}\) соответственно.
Закон сохранения импульса: \[m_e\cdot\vec v_e + (M + m)\cdot\vec V_i = (M + 2\cdot m_e)\cdot\vec V_f + \frac{h\cdot\nu}{c}\cdot\vec 1,\] где \(\vec 1\) — единичный вектор в направлении движения испущенного фотона.
3.3 Определение энергии \(\text{A}^{(Z-1)+}\): \[\text{потенциальная энергия} = -\frac{Z\cdot e^2}{4\cdot\pi\cdot\varepsilon_0\cdot r_0} = -\frac{Z\cdot q^2}{r_0},\] \[\text{кинетическая энергия} = \frac{p^2}{2\cdot m}.\] Если движение электронов ограничено плоскостью \(x\)–\(y\), принцип неопределённости из 3.1 можно записать так: \[r_0^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2,\] \[p_0^2 = (\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2,\] \[p_0^2 = \frac{\hbar^2}{4}\cdot\left[\frac{1}{(\Delta x)^2} + \frac{1}{(\Delta y)^2}\right] = \frac{\hbar^2}{4}\cdot\left[\frac{2}{r_0^2} + \frac{2}{r_0^2}\right] = \frac{\hbar^2}{4}\cdot\frac{4}{r_0^2},\] следовательно, \[p_0^2\cdot r_0^2 = \hbar^2,\] \[E[\text{A}^{(Z-1)+}] = \frac{p_0^2}{2\cdot m_e} - \frac{Z\cdot q^2}{r_0} = \frac{\hbar^2}{2\cdot m_e\cdot r_e} - \frac{Z\cdot q^2}{r_0}.\]
Минимум энергии достигается при \(\dfrac{dE}{dr_0} = 0\).
Отсюда \[\frac{dE}{dr_0} = -\frac{\hbar^2}{m_e\cdot r_e^3} + \frac{Z\cdot q^2}{r_0^2} = 0,\] это даёт \[\frac{1}{r_0} = \frac{Z\cdot q^2\cdot m_e}{\hbar^2},\] следовательно, \[E[\text{A}^{(Z-1)+}] = \frac{\hbar^2}{2\cdot m_e}\cdot\left(\frac{Z\cdot q^2\cdot m_e}{\hbar}\right)^2 - Z\cdot q^2\cdot\frac{Z\cdot q^2\cdot m_e}{\hbar^2} = -\frac{m_e}{2}\cdot\left(\frac{Z\cdot q^2}{\hbar}\right)^2 = -\frac{q^2\cdot Z^2}{2\cdot r_B} = -E_R\cdot Z^2,\] \[E[\text{A}^{(Z-1)+}] = -E_R\cdot Z^2.\]
3.4 Когда ион \(\text{A}^{(Z-1)+}\) захватывает второй электрон, \[\text{потенциальная энергия обоих электронов} = -2\cdot\frac{Z\cdot q^2}{r_0},\] \[\text{кинетическая энергия двух электронов} = 2\cdot\frac{p^2}{2\cdot m} = \frac{\hbar^2}{m_e\cdot r_0^2},\] \[\text{потенциальная энергия взаимодействия двух электронов} = \frac{q^2}{|\vec r_1 - \vec r_2|} = \frac{q^2}{2\cdot r_0},\] \[E[\text{A}^{(Z-2)+}] = \frac{\hbar^2}{m_e\cdot r_0^2} - \frac{2\cdot Z\cdot q^2}{r_0^2} + \frac{q^2}{2\cdot r_0}.\] Полная энергия минимальна при \(\dfrac{dE}{dr_0} = 0\), следовательно, \[0 = -\frac{2\cdot\hbar^2}{m_e\cdot r_0^3} + \frac{2\cdot Z\cdot q^2}{r_0^3} - \frac{q^2}{2\cdot r_0^2},\] отсюда \[\frac{1}{r_0} = \frac{q^2\cdot m_e}{2\cdot\hbar^2}\cdot\left(2\cdot Z - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{r_B}\cdot\left(Z - \frac{1}{4}\right),\] \[E[\text{A}^{(Z-2)+}] = \frac{\hbar^2}{m_e}\cdot\left(\frac{q^2\cdot m_e}{2\cdot\hbar^2}\right)^2 - \frac{q^2\cdot\left(2\cdot Z - \frac{1}{2}\right)}{\hbar}\cdot\frac{q^2\cdot m_e\cdot\left(2\cdot Z - \frac{1}{2}\right)}{2\cdot\hbar},\] \[E[\text{A}^{(Z-2)+}] = -\frac{m_e}{4}\cdot\left[\frac{q^2\cdot\left(2\cdot Z - \frac{1}{2}\right)}{\hbar}\right]^2 = -\frac{m_e\cdot\left[q^2\cdot\left(Z - \frac{1}{4}\right)\right]^2}{\hbar^2} = -\frac{q^2\cdot\left(Z - \frac{1}{4}\right)^2}{\hbar^2},\]
это даёт \[E[\text{A}^{(Z-2)+}] = -2\cdot E_R\cdot\left(Z - \frac{1}{4}\right)^2.\]
3.5 Ион \(\text{A}^{(Z-1)+}\) покоится, когда захватывает второй электрон, который до захвата тоже покоился.
По данным задачи частота испущенного фотона \[\nu = \frac{\omega}{2\cdot\pi} = \frac{2{,}057\cdot 10^{17}}{2\cdot\pi}~\text{Гц}.\] Уравнение энергии можно упростить до \[E[\text{A}^{(Z-1)+}] - E[\text{A}^{(Z-2)+}] = \hbar\cdot\omega = h\cdot\nu,\] т. е. \[-E_R\cdot Z^2 - \left[-2\cdot E_R\cdot\left(Z - \frac{1}{4}\right)^2\right] = \hbar\cdot\omega.\] Подставляя известные числа, получаем \[2{,}180\cdot 10^{-18}\cdot\left[-Z^2 + 2\cdot\left(Z - \frac{1}{4}\right)^2\right] = 1{,}05\cdot 10^{-34}\cdot 2{,}607\cdot 10^{17},\]
это даёт \[Z^2 - Z - 12{,}7 = 0\] с физически осмысленным решением \[Z = \frac{1 + \sqrt{1 + 51}}{2} = 4{,}1.\] Отсюда \(Z = 4\), то есть бериллий.
Похожие задачи
- Электрон и уровни атома (C5) ЕГЭ 2007, 11 кл.
- Уровни атома и длина волны (C5) ЕГЭ 2008, 11 кл.
- Фотоэффект у атома водорода (C6) ЕГЭ 2009, 11 кл.
- Фотон и ионизация (C6) ЕГЭ 2009, 11 кл.
- Энергетические уровни (C6) ЕГЭ 2010, 11 кл.
- Импульс электрона при ионизации (С6) ЕГЭ 2011, 11 кл.