Колесо Максвелла

Подсказка

Пока нити разматываются, колесо мгновенно вращается вокруг точки касания нити с осью — запишите закон сохранения энергии с моментом инерции относительно этой точки. В нижней точке центр масс обходит точку касания по окружности радиуса оси, и натяжение нити возрастает из-за центростремительного ускорения.

Решение

2.1 Закон сохранения энергии: \[M\cdot g\cdot s = \frac{1}{2}\cdot I_A\cdot\omega^2, \qquad (1)\] где \(\omega\) — угловая скорость колеса, \(I_A\) — момент инерции относительно оси, проходящей через A.

Примечание: если взять момент инерции относительно S, а не A, получилось бы \[M\cdot g\cdot s = \frac{1}{2}\cdot I_S\cdot\omega^2 + \frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2,\] где \(v\) — скорость центра масс по вертикали. По смыслу это уравнение совпадает с приведённым выше, так как \[I_A = I_S + M\cdot r^2 \quad\text{и}\quad I_S = M\cdot R^2.\]

Из (1) получаем \[\omega = \sqrt{\frac{2\cdot M\cdot g\cdot s}{I_A}};\] подставим \[I_A = \frac{1}{2}\cdot M\cdot r^2 + M\cdot R^2,\]

\[\omega = \sqrt{\frac{2\cdot g\cdot s}{r^2 + \frac{R^2}{2}}}.\] Подставляя числа, получаем \[\omega = \sqrt{\frac{2\cdot 9{,}81\cdot 0{,}50}{9\cdot 10^{-6} + \frac{1}{2}\cdot 36\cdot 10^{-4}}} \approx 72{,}4~\frac{\text{рад}}{\text{с}}.\]

2.2 Кинетическая энергия поступательного движения центра масс колеса \[E_T = \frac{1}{2}\cdot M\cdot v^2 = \frac{1}{2}\cdot M\cdot\omega^2\cdot r^2 = \frac{1}{2}\cdot 0{,}40\cdot 72{,}4^2\cdot 9\cdot 10^{-6} = 9{,}76\cdot 10^{-3}~\text{Дж}.\] Потенциальная энергия колеса \[E_P = M\cdot g\cdot s = 0{,}40\cdot 9{,}81\cdot 0{,}50 = 1{,}962~\text{Дж}.\] Кинетическая энергия вращения колеса \[E_R = \frac{1}{2}\cdot I_S\cdot\omega^2 = \frac{1}{2}\cdot 0{,}40\cdot 1{,}81\cdot 10^{-3}\cdot 72{,}4^2 = 1{,}899~\text{Дж}.\] \[\frac{E_T}{E_R} = \frac{9{,}76\cdot 10^{-3}}{1{,}899} = 5{,}13\cdot 10^{-3}.\]

2.3 Пусть \(\dfrac{T}{2}\) — сила натяжения каждой нити.

Момент силы \(\tau\), вызывающий вращение, равен \(\tau = M\cdot g\cdot r = I_A\cdot\alpha\), где \(\alpha\) — угловое ускорение, \(\alpha = \dfrac{M\cdot g\cdot r}{I_A}\).

Уравнение движения колеса: \(M\cdot g - T = M\cdot a\).

Подставляя \(a = \alpha\cdot r\) и \(I_A = \dfrac{1}{2}\cdot M\cdot r^2 + M\cdot R^2\), получаем \[T = M\cdot g + \frac{M\cdot g\cdot r^2}{\frac{1}{2}\cdot M\cdot R^2 + M\cdot r^2} = M\cdot g\cdot\left(1 + \frac{2\cdot r^2}{R^2 + 2\cdot r^2}\right).\]

Таким образом, для натяжения \(\dfrac{T}{2}\) каждой нити получаем \[\frac{T}{2} = \frac{M\cdot g}{2}\cdot\left(1 + \frac{2\cdot r^2}{R^2 + 2\cdot r^2}\right) = \frac{0{,}40\cdot 9{,}81}{2}\cdot\left(1 + \frac{2\cdot 9\cdot 10^{-6}}{3{,}6\cdot 10^{-3} + 2\cdot 9\cdot 10^{-6}}\right) = 1{,}96~\text{Н}.\] \[\frac{T}{2} = 1{,}96~\text{Н}.\]

2.4

Рис. 19.7.

После того как нити полностью размотаются, колесо продолжает вращаться вокруг A (которая некоторое время, обсуждаемое ниже, покоится). Пусть \(\dot\Phi\) — угловая скорость центра масс относительно оси, проходящей через A. Уравнение вращательного движения колеса вокруг A можно записать в виде \(|\tau| = I_A\cdot\ddot\Phi\), где \(\tau\) — момент силы относительно A, \(I_A\) — момент инерции относительно оси A, а \(\ddot\Phi\) — угловое ускорение относительно оси, проходящей через A.

Отсюда \[M\cdot g\cdot r\cdot\cos\Phi = I_A\cdot\ddot\phi \quad\text{и}\quad \ddot\phi = \frac{M\cdot g\cdot r\cdot\cos\Phi}{I_A}.\] Умножив на \(\dot\Phi\), получаем \[\dot\Phi\cdot\ddot\Phi = \frac{M\cdot g\cdot r\cdot\cos\Phi\cdot\dot\Phi}{I_A} \quad\text{или}\quad \frac{1}{2}\cdot\frac{d(\dot\Phi)^2}{dt} = \frac{M\cdot g\cdot r\cdot\cos\Phi}{I_A}\cdot\frac{d\Phi}{dt},\] откуда \[(\dot\Phi)^2 = \frac{2\cdot M\cdot g\cdot r\cdot\sin\Phi}{I_A} + C \qquad [C \text{ — произвольная постоянная}].\] Если \(\Phi = 0\) \([s = H]\), то \(\dot\Phi = \omega\).

Это даёт \(\omega = \dfrac{2\cdot M\cdot g\cdot H}{I_A}\) и, следовательно, \(C = \dfrac{2\cdot M\cdot g\cdot H}{I_A}\).

Подставляя эти результаты в уравнение выше, получаем \[\dot\Phi = \omega = \sqrt{\frac{2\cdot M\cdot g\cdot H\cdot\sin\Phi}{I_A}\cdot\left(1 + \frac{r}{H}\right)}.\]

При \(\dfrac{r}{H} \lll 1\) получаем: \[\omega = \omega'_{\text{MAX}} = \sqrt{\frac{2\cdot M\cdot g\cdot H}{I_A}}\] и \[v = r\cdot\omega'_{\text{MAX}} = r\cdot\sqrt{\frac{2\cdot M\cdot g\cdot H}{I_A}}.\]

Рис. 19.8.

Составляющая перемещения вдоль оси \(x\): \(x = r\sin\Phi - r\); вдоль оси \(y\): \(y = r\cos\Phi - r\).

Рис. 19.9.

2.5 Максимальное натяжение каждой нити достигается при \(\dot\Phi = \omega'_{\text{MAX}}\).

Уравнение движения: \[T_{\text{MAX}} - M\cdot g = M\cdot(\omega'_{\text{MAX}})^2\cdot r.\] Подставляя \(T = 20\) Н и \(\omega'_{\text{MAX}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot M\cdot g\cdot s}{I_A}}\) (где \(s\) — максимальная длина нитей, удерживающих колесо без обрыва) и \(I_A = M\cdot\left(\dfrac{R^2}{2} + r^2\right)\), получаем численно \[20 = 0{,}40\cdot 9{,}81\cdot\left(1 + \frac{4\cdot 3\cdot 10^{-3}\cdot s}{36\cdot 10^{-4} + 2\cdot 9\cdot 10^{-6}}\right).\] Это даёт \(s = 1{,}24\) м.

Максимальная длина нитей, выдерживающих максимальное натяжение без обрыва, равна \(1{,}24\) м.