Лазерные технологии

При решении задачи используйте следующие значения физических постоянных:

• скорость света в вакууме \(c = 3.00 \cdot 10^8 \; м/с\);

• постоянная Планка \(\hbar = 1.055 \cdot 10^{-34} \; Дж \cdotp с\);

• константа в законе Кулона и электрическая постоянная \(k = \cfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 8.99 \cdot 10^9 \; Н \cdotp м^2 \cdotp Кл^{-2}\);

• элементарный заряд \(e = 1.60 \cdot 10^{-19} \; Кл\).

Часть A. Классическая модель сверхизлучения

Лазеры — источники когерентного оптического излучения. Лазерное излучение формируется за счет того, что большое количество атомов, переведенных с помощью внешнего воздействия (накачки) в возбужденное состояние, излучают фотоны с одинаковой фазой и поляризацией. Для построения последовательной теории лазерного излучения нужно использовать квантовую механику, однако некоторые аспекты его работы можно понять и с помощью классической электродинамики.

Рассмотрим сначала излучение фотона единичным атомом. С точки зрения классической электродинамики атом можно рассматривать как дипольный излучатель. В этой модели с атомом связывают электрический диполь, образованный неподвижным положительно заряженным ядром атома с зарядом \(+q\) и совершающим гармонические колебания около него отрицательным зарядом \(-q\), расположенным в центре распределения зарядов электронного облака. При этом дипольный момент атома изменяется по закону \(\vec{p}(t) = \vec{p}_m(t) \cos{(\omega t + \varphi)}\). Циклическая частота колебаний связана с энергией испускаемых фотонов соотношением Планка \(E_{\gamma} = \hbar \omega\). В дальнейшем под частотой фотонов будем подразумевать их циклическую частоту. Мощность излучения классической системы с переменным дипольным моментом \(\vec{P} (t)\) определяется формулой:

\[W = \cfrac{2 k}{3 c^3} \left\langle  \left( \cfrac{d^2 \vec{P}}{d t^2}\right) ^2 \right\rangle,\]

где угловые скобки означают усреднение по периоду колебаний.

A1. Атом излучает свет с длиной волны \(\lambda_0 = 300 \;нм\). Оцените в классической модели время высвечивания атома \(\tau\) (то есть время, за которое он излучает энергию, равную энергии одного фотона). Это время совпадает по порядку величины с характерным временем, за которое атом излучает фотон. Все излучение создается одним электроном, находящимся на расстоянии порядка \(a_0 = 0.1 \;нм\) от ядра. Выразите ответ через физические постоянные, \(\lambda_0\) и \(a_0\).

Допустим, что в некотором объеме кратковременным воздействием накачки переведены в возбужденное состояние \(N\) атомов. Известно, что один атом излучает фотон с частотой \(\omega\) за характерное время \(\tau\).

A2. Оцените мощность \(W_s\) электромагнитного излучения всех \(N\) атомов при спонтанном режиме излучения, то есть когда направление атомного диполя и фаза его колебаний случайным образом изменяется от атома к атому. В ответе запишите формулу для мощности через \(N\), \(\omega\) и \(\tau\).

A3. Оцените длительность импульса спонтанного излучения этой системы атомов. В ответе запишите формулу (через те же величины).

A4. Оцените мощность \(W_i\) электромагнитного излучения всех \(N\) атомов в режиме сверхизлучения, то есть когда направление атомных диполей и фазы их колебаний совпадают у всех атомов, находящихся в возбужденном состоянии. В ответе запишите формулу для мощности через \(N\), \(\omega\) и \(\tau\).

A5. Оцените длительность импульса излучения системы атомов в режиме сверхизлучения. В ответе запишите формулу (через те же величины).

Часть B. Нелинейная оптика и сжатие импульсов

Импульсы еще более малой длительности можно получить, уменьшая длительность уже сгенерированных лазерных импульсов. Длительность импульса \(\Delta t\) и разброс частот входящих в него колебаний \(\Delta \omega\) (спектральная ширина) связаны неравенством \(\Delta \omega \Delta t \geq 2 \pi\). Лазерные импульсы, генерируемые в режиме сверхизлучения, уже имеют минимально возможную длительность при данном разбросе частот \(\Delta t_0 \approx 2 \pi/\Delta \omega_0\). Поэтому длительность импульса можно уменьшить в два этапа: сначала увеличить спектральную ширину импульса (не меняя длительности), а затем сжать импульс по времени.

Одним из самых популярных способов решения первой задачи является чирпирование импульсов (от англ. «chirp»). В основе этого метода лежит использование нелинейности среды, то есть зависимости показателя преломления среды \(n\) от амплитуды колебаний напряженности электрического поля в волне \(E_m\). Зависимость имеет вид \(n = n_0 + n_2 E^2_{m}\), где \(n_0\), \(n_2\) — константы, зависящие от свойств вещества. Нелинейные эффекты малы, например в кварце при интенсивности света \(I_{1} = 10^9 \; Вт/см^2\) показатель преломления увеличивается всего на \(n_2 E^2_{m1} \approx 3.2 \cdot 10^{-7}\). Интенсивность электромагнитной волны в среде определяется формулой: \[I = \cfrac{\varepsilon_0 n_0 c}{2} E^2_m.\]

Рассмотрим импульс длительностью \(\Delta t_0\) с малым разбросом частот \(\Delta \omega_0 \approx 2\pi/\Delta t_0\), средняя частота импульса \(\omega_0\). На рисунке 1 изображена примерная зависимость напряженности электрического поля от времени в таком импульсе. Скорость перемещения волновых максимумов на краях импульса одинакова, а в центральной части она уменьшается за счет эффектов нелинейности. Благодаря этому общая длительность импульса не меняется, частота в «задней» части импульса растет, а в «передней» — убывает. Такие импульсы и называют «чирпированными».

Рис. 1.

B1. Пусть амплитуды двух максимумов волны равны \(E_{m1}\) и \(E_{m2}\) соответственно. Найдите разность скоростей их распространения \(\Delta v\). Выразите ответ через \(n_0\), \(n_2\), \(c\), \(E_{m1}\) и \(E_{m2}\).

B2. Световой импульс с длиной волны в вакууме \(\lambda_0=300 \;нм\) и максимальной интенсивностью \(I_0 = 3 \cdot 10^9 \;Вт/см^2\) распространяется вдоль оси кварцевого оптоволокна. Огибающую зависимости квадрата напряженности электрического поля волны от времени \(E^2_m (t)\) считайте параболой. Определите длину \(s\) оптоволокна, при прохождении которого спектральная ширина импульса возрастет в \(K = 200\) раз. Ответ выразите через \(K\), \(\lambda_0\), \(n_2\), \(E_m,\) вычислите также значение (в метрах, с точностью до целого значения).

Для сжатия чирпированного импульса по времени можно пропустить его через среду, в которой групповая скорость волны зависит от частоты. В окрестности средней частоты \(\omega_0\) можно для рассматриваемой среды представить зависимость волнового числа от частоты в виде \(k(\omega) = k_0 + \beta_1 (\omega - \omega_0) + \frac{\beta_2}{2} (\omega - \omega_0)^2\). Для используемого вещества \(\beta_1 = 5 \; нс/м\), \(|\beta_2| = 20 \; фс^2/мм\).

B3. Какой должен быть знак у \(\beta_2\) для того, чтобы импульс, чирпированный по описанной выше схеме, сжимался по времени в этой среде? В ответе укажите «+» или «—». В дальнейшем считайте, что \(\beta_2\) имеет именно такой знак.

B4. Найдите расстояние, которое должен пройти в такой среде импульс из В2, имевший длительность \(\Delta t_0 = 10 \; пс\) и начальную спектральную ширину \(\Delta \omega_0 \approx 2 \pi/\Delta t_0\) (до чирпирования), чтобы после чирпирования с уширением спектра в \(K = 200\) раз достичь минимально возможной длительности. В ответе запишите формулу через физические постоянные \(K\), \(\Delta t_0\), \(\beta_1\) и \(\beta_2\), а также укажите числовое значение в метрах, с точностью до целого значения.

B5. Нелинейность среды приводит к исчезновению дифракционной расходимости у пучка света достаточно большой интенсивности. Оцените минимальную мощность светового импульса \(W_c\), при которой он не испытывает дифракционной расходимости, то есть распространяется внутри узкого цилиндрического канала постоянного радиуса. В ответе запишите формулу для \(W_c\) через физические постоянные, частоту \(\omega_0\), \(n_0\) и \(n_2\). Распределение интенсивности по сечению канала считайте примерно равномерным. Найдите численное значение мощности для импульса с длиной волны в вакууме \(\lambda_0 = 300 \; нм\), распространяющегося в кварце. Коэффициент \(n_0 = 1.47\).

Часть C. Экзопланеты

В астрономии наблюдения светящихся объектов производятся в течении длительного времени. Это позволяет изучать изменение спектров их излучения. С помощью спектральных измерений можно обнаружить планеты, вращающиеся вокруг других звезд — «экзопланеты». Экзопланеты не имеют собственного излучения, поэтому приходится изучать спектр излучения их звезд. Если для экзопланеты направление на Землю лежит практически в плоскости ее орбиты, такую экзопланету можно найти по снижению яркости звезды в моменты прохождения экзопланеты по диску звезды. Однако если плоскость орбиты наклонена по отношению к направлению на Землю, такой метод не годится.

C1. Предложите метод, позволяющий с помощью изучения спектра звезды в оптическом диапазоне обнаруживать экзопланеты с заметным наклоном орбит по отношению к лучу зрения. В качестве ответа назовите физическое явление, лежащее в основе Вашего метода.

С2. Пусть экзопланета массы \(m\) обращается вокруг звезды массы \(M\) по круговой орбите радиуса \(R\). Период обращения равен \(T\) , плоскость орбиты этой планеты составляет угол \(\theta\) с направлением на Землю. Оцените относительную точность измерения частот, необходимую для обнаружения предложенным Вами методом такой экзопланеты. В ответе выразите относительную точность \(\Delta \omega / \omega\), с которой нужно измерять частоту, через фундаментальные постоянные \(R\), \(T\) , \(\theta\), \(m\) и \(M\).

C3. Пусть масса экзопланеты из ее звезды равны массе Земли и Солнца соответственно, а радиус круговой орбиты совпадает с расстоянием от Земли до Солнца (\(R \approx 1.5 \cdot 10^{11} \; м\)), угол \(\theta = 60^{\circ}\), а масса Солнца в \(330000\) раз больше массы Земли, период обращения Земли вокруг Солнца — \(1\) год. Укажите целое число \(n\), такое, что \(10^{-n}\) — относительная точность определения частоты, необходимая для вашего метода. Использование сверхкоротких (фемтосекундных) лазерных импульсов позволяет измерять частоты в оптическом диапозоне (\(10^{15} \; Гц\)) с точностью порядка \(10 \; Гц\). Достаточно ли такой точности, чтобы зарегистрировать экзопланету?