Энергия и импульс фотона, эффект Комптона

Подсказка

Мощность распределяется по сфере радиусом в 1 км; найдите долю, приходящуюся на площадку, и поделите на энергию фотона.

Ответ

\(0{,}2\) млн фотонов

Решение

Длина волны \(\lambda=5\cdot10^{-5}\) см, частота \(\nu=c/\lambda=3\cdot10^{10}/5\cdot10^{-5}=6\cdot10^{14}\) Гц. Энергия фотона

\[ \varepsilon=h\nu=6{,}62\cdot10^{-27}\cdot6\cdot10^{14}=4\cdot10^{-12}\ \text{эрг}=4\cdot10^{-19}\ \text{Дж}. \]

Площадь кадра \(A=100\) см² \(=10^{-2}\) м², выдержка \(t=10^{-9}\) с. Если на снимке \(N\) пятен,

\[ E=\frac{N\varepsilon}{At}=\frac{N\cdot4\cdot10^{-19}}{10^{-2}\cdot10^{-9}}=4\cdot10^{-8}\,N\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}. \]

По рисункам в задачнике (и по типичной «зернистой» шкале) на первом кадре порядка двух десятков точек, на втором — сотни, на третьем — около тысячи:

\[ N_1\sim25,\quad E_1\sim10^{-6}\ \text{Вт/м}^2; \] \[ N_2\sim100,\quad E_2\sim4\cdot10^{-6}\ \text{Вт/м}^2; \] \[ N_3\sim10^3,\quad E_3\sim4\cdot10^{-5}\ \text{Вт/м}^2. \]

Соберём энергию фотона ещё раз через \(hc/\lambda\), без промежуточной частоты. \(\lambda=5\cdot10^{-5}\) см \(=500\) нм — зелёный свет, \(hc\approx1240\) эВ·нм, \(\varepsilon=2{,}48\) эВ \(=4\cdot10^{-19}\) Дж, как и через \(h\nu\). Кадр \(10\times10\) см за выдержку \(t=10^{-9}\) с при \(N\) пятнах даёт освещённость \(E=N\varepsilon/(At)=4\cdot10^{-8}\,N\) Вт/м². Двадцать пять зёрен — микроватт на квадратный метр: глазу это тьма, плёнке в задаче — уже картинка, потому что «каждый фотон оставляет пятно».

Почему выдержка такая короткая? Если бы затвор стоял \(10^{-2}\) с, как у обычного фотоаппарата, те же 25 фотонов размазались бы по времени в \(10^7\) раз, и \(E\) упала бы до \(10^{-13}\) Вт/м² — ещё абсурднее как «освещённость сцены», но число зёрен на кадре не изменилось бы. Квантовая природа здесь буквальна: изображение собирается по штукам. Глазу, чтобы «увидеть» вспышку, нужно порядка сотни фотонов на палочку; весь первый кадр как раз этого порядка.

Решение

Самые быстрые электроны имеют \(K_\max=h\nu-W\). Вторая пластина заряжена отрицательно (относительно заземлённой первой): она тормозит вылетевшие электроны. Ток падает до нуля, когда

\[ eV_0=K_\max=h\nu-W. \]

На графике \(V_0\) — то напряжение, где кривая \(I(V)\) упирается в ось (ток исчезает). Отсюда

\[ W=h\nu-eV_0. \]

Правее, при ускоряющем поле, ток выходит на плато: все выбитые электроны долетают до коллектора, и дальше поднимать \(V\) бесполезно.

Заземление первой пластины фиксирует её потенциал: выбитые электроны не заряжают эмиттер, и тормозящее поле задаётся только напряжением на второй пластине. Поэтому \(V_0\) с графика сразу даёт работу выхода, без поправки на контактную разность.

Уравнение Эйнштейна \(h\nu=W+K_\max\) читается так: фотон целиком отдал энергию одному электрону, \(W\) ушло на выход из металла, остаток — кинетика. Задерживающее \(V_0\) на второй пластине тормозит самые быстрые, и ток обрывается при \(eV_0=K_\max\). Отсюда \(W=h\nu-eV_0\), и \(V_0\) прямо снимается с графика — там, где \(I(V)\) упирается в ось. Правее, в ускоряющем поле, ток выходит на плато: все выбитые электроны долетают, поднимать \(V\) дальше бесполезно.

Число. Натрий, \(W=2{,}3\) эВ; ультрафиолет \(\nu=10^{15}\) Гц даёт \(h\nu\approx4{,}1\) эВ, и \(V_0\approx1{,}8\) В — типичная клетка на учебном графике. Если \(\nu\) опустить ниже красной границы \(\nu_0=W/h\), кинетики нет вовсе, ток нулевой при любом \(V\), задерживающего потенциала не существует. Знак: \(V_0\) берём модулем, пластина-коллектор отрицательна относительно заземлённого эмиттера.

Решение

Фотон несёт импульс \(\varepsilon/c\). Два фотона с равными \(\varepsilon\), разлетевшиеся на \(180^\circ\), дают \(\vec p_\text{сум}=0\). До аннигиляции суммарный импульс пары тоже ноль: \(\vec v_{e^+}=-\vec v_{e^-}\).

Энергия каждого фотона тогда равна энергии одной частицы в СЦМ: \(\varepsilon=\gamma mc^2\). Чем быстрее пара, тем больше \(\varepsilon\). Книга спрашивает характерную (и одновременно нижнюю) частоту — аннигиляцию практически покоящихся частиц, \(\gamma=1\):

\[ \varepsilon=mc^2=511\ \text{кэВ}=8{,}2\cdot10^{-14}\ \text{Дж}, \] \[ \nu=\frac{\varepsilon}h=\frac{8{,}2\cdot10^{-14}}{6{,}6\cdot10^{-34}}=1{,}24\cdot10^{20}\ \text{Гц}. \]

Это линия 511 кэВ, по которой ищут позитроны в галактике. Если у пары есть кинетическая энергия при нулевом суммарном импульсе, частота только выше — так что \(1{,}24\cdot10^{20}\) Гц есть частота «покоящейся» аннигиляции, которую в ответах называют максимальной для «таких» (равных и встречных, без лишней кинетики) квантов.

Почему обязательно два кванта, а не один? У одиночного фотона \(p=\varepsilon/c\), у покоящейся пары \(e^+e^-\) суммарный импульс ноль. Один квант не может унести энергию \(2mc^2\) и одновременно иметь нулевой импульс. Два одинаковых, разлетевшихся на \(180^\circ\), дают \(\vec p_\text{сум}=0\) автоматически. Значит, в лабораторной системе центр масс пары тоже покоился: \(\vec v_{e^+}=-\vec v_{e^-}\). Энергия каждого кванта тогда равна энергии одной частицы, и минимум — это покой: \(\varepsilon=mc^2=511\) кэВ, \(\nu=mc^2/h=1{,}24\cdot10^{20}\) Гц.

Это линия 511 кэВ, по которой ищут позитроны в галактике и на которой работает ПЭТ-томограф. Длина волны \(c/\nu=h/(mc)=2{,}4\) пм — комптоновская длина электрона. Если у пары есть кинетическая энергия при нулевом суммарном импульсе, частота только выше, так что \(1{,}24\cdot10^{20}\) Гц — нижняя (и одновременно характерная) частота «равных и встречных» квантов. Три фотона — реже, и только при наличии третьего тела, которое заберёт импульс.

Решение

а. Фотоны на одной прямой в разные стороны. Импульс мезона \(p=(\varepsilon_1-\varepsilon_2)/c\) (в сторону более энергичного), энергия \(E=\varepsilon_1+\varepsilon_2\). Тогда

\[ v=\frac{pc^2}E=c\,\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}. \]

б. Поперечные импульсы равны: \(\varepsilon_1\sin\theta_1=\varepsilon_2\sin\theta_2\). Продольный импульс \(p=(\varepsilon_1\cos\theta_1+\varepsilon_2\cos\theta_2)/c\), \(E=\varepsilon_1+\varepsilon_2\). Исключая \(\varepsilon_{1,2}\):

\[ v=c\,\frac{\varepsilon_1\cos\theta_1+\varepsilon_2\cos\theta_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}=c\,\frac{\sin\theta_2\cos\theta_1+\sin\theta_1\cos\theta_2}{\sin\theta_1+\sin\theta_2}=c\,\frac{\sin(\theta_1+\theta_2)}{\sin\theta_1+\sin\theta_2}. \]

Скорость любой частицы есть \(v=pc^2/E\). У распавшегося мезона импульс и энергия целиком сидят в двух фотонах. В пункте «а» они на одной прямой врозь, поэтому \(p=(\varepsilon_1-\varepsilon_2)/c\) в сторону более энергичного, \(E=\varepsilon_1+\varepsilon_2\), и \(v=c(\varepsilon_1-\varepsilon_2)/(\varepsilon_1+\varepsilon_2)\). Если \(\varepsilon_1=\varepsilon_2\), мезон покоился. Если \(\varepsilon_2\to0\), \(v\to c\): почти вся энергия улетела вперёд, это ультрарелятивистский распад.

В пункте «б» поперечные импульсы сокращаются, \(\varepsilon_1\sin\theta_1=\varepsilon_2\sin\theta_2\), и после исключения энергий остаётся \(v=c\sin(\theta_1+\theta_2)/(\sin\theta_1+\sin\theta_2)\). Симметричная вилка \(\theta_1=\theta_2=\theta\) даёт \(v=c\cos\theta\): чем острее угол разлёта, тем быстрее летела частица. Предел \(\theta\to90^\circ\) возвращает покой. Нейтральный пион, \(m_{\pi^0}c^2=135\) МэВ, в своей системе испускает два кванта по 67,5 МэВ; вся асимметрия \(\varepsilon_1\neq\varepsilon_2\) в лаборатории — это чистый буст.

Решение

а. \(\lambda'-\lambda=(h/(mc))(1-\cos\theta)\). Слева \(\Delta\lambda\approx c\Delta\nu/\nu^2\) (частота упала, длина волны выросла):

\[ \frac{c\Delta\nu}{\nu^2}=\frac h{mc}(1-\cos\theta)\qquad\Longrightarrow\qquad m=\frac{h\nu^2(1-\cos\theta)}{c^2\Delta\nu}. \]

б. Для электрона то же с \(m_e\). Условие \(h\nu\ll m_ec^2\) как раз и есть \(\Delta\nu\ll\nu\) (сдвиг мал). Тогда

\[ \Delta\nu=\frac{h\nu^2}{m_ec^2}(1-\cos\theta). \]

В книге набрано \(\nu'\) вместо \(\nu^2\) — опечатка набора.

Формула Комптона живёт в длинах волн, \(\Delta\lambda=(h/mc)(1-\cos\theta)\), потому что именно \(\lambda\) сдвигается на константу, не зависящую от исходной энергии. Частота связана \(\lambda=c/\nu\), и при малом сдвиге \(d\lambda=-c\,d\nu/\nu^2\). Частота упала на \(\Delta\nu\), длина волны выросла на \(c\Delta\nu/\nu^2\). Приравнивая, получаем массу мишени \(m=h\nu^2(1-\cos\theta)/(c^2\Delta\nu)\). Чем тяжелее частица, тем меньше она отбирает у кванта, тем крошечнее \(\Delta\nu\) — тяжёлое ядро почти не отдаёт отдачи.

Пункт «б» — тот же Комптон на электроне при \(h\nu\ll m_ec^2=511\) кэВ. Тогда \(\Delta\nu\ll\nu\) автоматически, и \(\Delta\nu=(h\nu^2/m_ec^2)(1-\cos\theta)\). В книге набрано \(\nu'\) вместо \(\nu^2\) — опечатка. При \(\theta=0\) сдвига нет: фотон «не задел». При \(\theta=180^\circ\) множитель максимален и равен 2. Для видимого света \(\lambda\sim5000\) Å комптоновская длина электрона 0,024 Å даёт \(\Delta\lambda/\lambda\sim10^{-5}\): частота почти не меняется, как и требует \(h\nu\ll mc^2\).

Решение

Вперёд (данная частота \(\nu\)):

\[ \frac{mv^2}2=\frac{m(v-\Delta v)^2}2+h\nu+\varepsilon,\qquad mv=m(v-\Delta v)+\frac{h\nu}c. \]

Из импульса \(\Delta v=h\nu/(mc)\). Подставляем в энергию (без \((\Delta v)^2\)):

\[ \varepsilon=-h\nu\bigl(1-v/c\bigr). \]

Назад (искомая \(\nu'\)):

\[ \frac{mv^2}2=\frac{m(v+\Delta'v)^2}2+h\nu'+\varepsilon,\qquad mv=m(v+\Delta'v)-\frac{h\nu'}c. \]

Аналогично \(\varepsilon=-h\nu'(1+v/c)\). Приравниваем два выражения для \(\varepsilon\):

\[ \nu'=\nu\,\frac{1-v/c}{1+v/c}. \]

б. Поперечный фотон не меняет продольный импульс; изменение кинетики — второго порядка малости. Тогда \(\varepsilon+h\nu_\perp=0\), и с \(\varepsilon\) из «вперёд»

\[ \nu_\perp=\nu\bigl(1-v/c\bigr). \]

Один и тот же внутренний дефект \(\varepsilon\) кормит все три частоты, а разница — в механике отдачи. Выстрел вперёд тормозит атом на \(\Delta v=h\nu/(mc)\): фотон уносит импульс по скорости, кинетика падает, и на долю \(h\nu\) остаётся больше — отсюда \(\varepsilon=-h\nu(1-v/c)\). Выстрел назад, наоборот, разгоняет атом, кинетика растёт, фотону достаётся меньше, \(\varepsilon=-h\nu'(1+v/c)\). Приравнивая \(\varepsilon\), получаем \(\nu'=\nu(1-v/c)/(1+v/c)\). Поперечный фотон продольный импульс не трогает, квадрат отдачи отбрасываем, и \(\nu_\perp=\nu(1-v/c)\).

Предел \(v=0\): все три частоты сливаются. Иерархия \(\nu>\nu_\perp>\nu'\) — вперёд «синее», назад «красное». Обычный нерелятивистский Доплер из собственной \(\nu_0\) даёт \(\nu=\nu_0(1+v/c)\), \(\nu'=\nu_0(1-v/c)\), \(\nu_\perp=\nu_0\), и оба ответа воспроизводятся в первом порядке по \(v/c\). Релятивистский поперечный множитель \(\sqrt{1-v^2/c^2}\) здесь не виден: мы выкинули \((h\nu)^2/2mc^2\) и \(v^2/c^2\), как и велит условие «импульс фотона много меньше импульса атома».

Решение

На поверхности потенциал \(\Phi=-\gamma M/R\). Фотон «весит» \(h\nu/c^2\), чтобы уйти на бесконечность (к нам), отдаёт

\[ \Delta\varepsilon=\frac{h\nu}{c^2}\cdot\frac{\gamma M}R. \]

Частота падает на \(\Delta\nu=\Delta\varepsilon/h=\nu\gamma M/(Rc^2)\). Чем больше \(M\) и меньше \(R\), тем глубже яма и тем краснее свет. Поэтому эффект и зовут гравитационным красным смещением: все линии спектра сдвигаются к красному концу, без изменения расстояний между ними в относительной мере \(\Delta\nu/\nu\).

Это не Доплер (звезда может не двигаться) и не космологическое расширение — чистая гравитация, предсказанная общей теорией относительности и в слабом поле видимая уже из эквивалентности массы и энергии.

У фотона нет массы покоя, но есть эквивалентная \(h\nu/c^2\). Вылезая из ямы \(\Phi=-\gamma M/R\), он совершает работу \((h\nu/c^2)\cdot(\gamma M/R)\) и теряет ровно столько энергии. Частота падает на \(\Delta\nu=\nu\gamma M/(Rc^2)\). Чем массивнее звезда и чем меньше её радиус, тем глубже яма и тем краснее ушедший свет. Все линии спектра сдвигаются к красному концу на одну и ту же относительную долю \(\Delta\nu/\nu\) — поэтому эффект и зовут гравитационным красным смещением, а не «уменьшением яркости».

Это не Доплер: звезда может покоиться относительно нас. И не космологическое расширение. Чистая гравитация, в слабом поле видимая уже из \(E=mc^2\). На башне Паунда–Ребки, 22,5 м, \(\Delta\nu/\nu=gh/c^2\sim2\cdot10^{-15}\) — и этот крошечный сдвиг измерили. У горизонта чёрной дыры \(R\to r_g=2\gamma M/c^2\) наивная формула даёт \(\Delta\nu/\nu\to1/2\), на самом деле частота уходит в ноль: свет «замирает» и наружу не выходит. Знак однозначен: глядя снизу вверх, мы краснеем, не синеем.

Решение

Эквивалентная масса фотона \(h\nu/c^2\), работа против тяготения \(\gamma M/R\):

\[ \Delta\nu=\nu\frac{\gamma M}{Rc^2}. \]

Солнце: \(M=2\cdot10^{30}\) кг, \(R=7\cdot10^8\) м, \(\gamma=6{,}7\cdot10^{-11}\), \(c^2=9\cdot10^{16}\):

\[ \frac{\gamma M}{Rc^2}=\frac{6{,}7\cdot10^{-11}\cdot2\cdot10^{30}}{7\cdot10^8\cdot9\cdot10^{16}}\approx2\cdot10^{-6}. \]

Видимый свет \(\nu\sim5\cdot10^{14}\) Гц, \(\Delta\nu_\odot\sim10^9\) Гц.

Мешает тепловое движение: при \(T\sim6000\) К у водорода \(v_\text{т}\sim\sqrt{3kT/m}\sim10\) км/с, \(v/c\sim3\cdot10^{-5}\) — на порядок больше гравитационных \(2\cdot10^{-6}\). Плюс конвекция, вращение Солнца, давление в линиях. Выделить гравитационный сдвиг можно, но это уже тонкая спектроскопия.

Та же работа \((h\nu/c^2)\cdot(\gamma M/R)\) для Солнца. Подстановка \(M=2\cdot10^{30}\) кг, \(R=7\cdot10^8\) м даёт \(\gamma M/(Rc^2)\approx2\cdot10^{-6}\). В видимой области \(\nu\sim5\cdot10^{14}\) Гц это \(\Delta\nu_\odot\sim10^9\) Гц — гигагерц на фоне пятисот терагерц, относительная мелочь. Через гравитационный радиус то же число: \(r_g^\odot=3\) км, \(\Delta\nu/\nu=r_g/(2R)=1{,}5/(7\cdot10^5)=2\cdot10^{-6}\).

Почему эффект так долго не ловили на Солнце? Тепловое движение в фотосфере при \(T\sim6000\) К даёт водороду \(v_\text{т}\sim10\) км/с, \(v/c\sim3\cdot10^{-5}\) — на порядок больше гравитационных \(2\cdot10^{-6}\). Плюс грануляция, вращение (экватор 2 км/с) и давление в линиях. Выделить гравитационный сдвиг можно, но это уже тонкая спектроскопия относительно лабораторного эталона. У белого карлика \(R\sim10^{-2}R_\odot\), сдвиг в сто раз больше — его на Сириусе B измерили ещё в 1920-х.

Решение

Внутри однородного шара \(|\Phi|\sim\gamma M/R\), в центре чуть больше (коэффициент \(3/2\)). С множителем 2 из ОТО

\[ n-1\sim\frac{3\gamma M}{Rc^2}. \]

Шар как «стеклянная линза»: \(1/f=2(n-1)/R\),

\[ f\sim\frac{R^2c^2}{6\gamma M}. \]

Числа. Гравитационный радиус Солнца \(2\gamma M_\odot/c^2=3\) км, значит \(\gamma M_\odot/c^2=1{,}5\) км. Для галактики \(\gamma M/c^2=3\cdot10^{11}\cdot1{,}5\) км \(=4{,}5\cdot10^{11}\) км. \(R=2\cdot10^4\) пк \(\approx6\cdot10^{17}\) км.

\[ f\sim\frac{(6\cdot10^{17})^2}{6\cdot4{,}5\cdot10^{11}}\ \text{км}\sim10^{23}\ \text{км}\sim10^9\ \text{пк}. \]

Гигапарсек — космологический масштаб: такая «линза» фокусирует квазары с другого конца видимой Вселенной, не звёзды соседней галактики.

В слабом поле свет идёт так, будто пространство заполнено средой с показателем \(n=1-2\Phi/c^2\). У однородного шара \(|\Phi|\sim\gamma M/R\), с множителем 2 из ОТО и коэффициентом \(3/2\) в центре получаем \(n-1\sim3\gamma M/(Rc^2)\). Шар как очень слабая стеклянная линза: \(1/f=2(n-1)/R\), откуда \(f\sim R^2 c^2/(6\gamma M)\). Для точечной массы фокуса нет — угол отклонения \(\propto1/b\), разные лучи собираются в разных местах. Однородность как раз и делает «настоящую» линзу.

Числа. Гравитационный радиус Солнца 3 км, \(\gamma M_\odot/c^2=1{,}5\) км. Галактика \(M=3\cdot10^{11}M_\odot\) даёт \(\gamma M/c^2=4{,}5\cdot10^{11}\) км. Радиус \(R=2\cdot10^4\) пк \(\approx6\cdot10^{17}\) км, и \(f\sim10^{23}\) км \(\sim10^9\) пк. Гигапарсек — космологический масштаб: такая линза фокусирует квазары с другого конца видимой Вселенной, не звёзды соседней галактики. Параксиальный проход даёт \(\alpha\sim(4\gamma M/c^2 R^2)b\) и \(f=c^2 R^2/(4\gamma M)\) — шестёрка против четвёрки в оценке не важна.

Подсказка

Не забудьте перевести площади в квадратные метры. Для вопроса D мощность, излучаемая всей поверхностью Солнца, равна мощности, проходящей через сферу радиусом в расстояние до Земли.

Ответ

A) 1 кДж;  B) 35 000 эВ;  C) 17 000;  D) 64 Вт.

Подсказка

Давление равно импульсу, передаваемому площадке за секунду, делённому на площадь; при зеркальном отражении импульс меняет знак.

Ответ

A) 1 кДж;  B) 35 000 эВ;  C) 17 000;  D) 64 Вт;  E) 9{,}3 мкПа.