Гравитационное красное смещение и измерение массы звезды

Энергия фотона уменьшается на работу против тяготения, как у частицы массы \(hf/c^2\). Резонанс достигается, когда доплеровский сдвиг из-за скорости ионов компенсирует гравитационный; ищите, в каких переменных зависимость \(\beta(d)\) становится линейной. Для отдачи запишите законы сохранения энергии и импульса для распада покоящегося атома.

(a) Если фотон обладает эффективной инертной массой \(m\), определяемой его энергией, то \(mc^2 = hf\), или \(m = \dfrac{hf}{c^2}\).

Примем, что гравитационная масса равна инертной, и рассмотрим фотон с энергией \(hf\) (массой \(m = \dfrac{hf}{c^2}\)), испущенный вверх на расстоянии \(r\) от центра звезды. Вылетая из гравитационного поля звезды, он теряет энергию.

Применим закон сохранения энергии: изменение энергии фотона \((hf_i - hf_f)\) равно изменению гравитационной энергии, где индекс \(i\) обозначает начальное состояние, а индекс \(f\) — конечное. \[\begin{aligned} hf_i - hf_f &= -\frac{GMm_f}{\infty} - \left(-\frac{GMm_i}{r}\right),\\ hf_f &= hf_i - \frac{GMm_i}{r},\\ hf_f &= hf_i - \frac{GM\dfrac{hf_i}{c^2}}{r},\\ hf_f &= hf_i\left(1 - \frac{GM}{rc^2}\right),\\ \frac{f_f}{f_i} &= \left(1 - \frac{GM}{rc^2}\right),\\ \frac{\Delta f}{f} &= \frac{f_f - f_i}{f_i} = -\frac{GM}{rc^2}. \end{aligned}\] Знак минус означает красное смещение, т. е. уменьшение \(f\) и увеличение длины волны.

Таким образом, для фотона, испущенного с поверхности звезды радиусом \(R\), имеем \[\frac{\Delta f}{f} = \frac{GM}{Rc^2} .\]

Поскольку изменение энергии фотона мало (\(\delta f \ll f\)), \[m_f \simeq m_i = \frac{hf_i}{c^2} .\]

(b) Изменение энергии фотона при подъёме от \(r_i\) до \(r_f\) равно \[hf_i - hf_f = -\frac{GMm_f}{r_f} + \frac{GMm_i}{r_i} \simeq \frac{GMhf_i}{c^2}\left(\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_f}\right),\] \[\therefore\ \frac{f_f}{f_i} = 1 - \frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_f}\right).\] В эксперименте \(R\) — радиус звезды, \(d\) — расстояние от поверхности звезды до аппарата, и уравнение принимает вид \[\frac{f_f}{f_i} = 1 - \frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+d}\right). \qquad (1)\] Чтобы вызвать резонансное возбуждение ионов He\(^+\) в аппарате, частота фотона должна быть доплеровски сдвинута обратно от \(f_f\) к \(f_i\). Применим релятивистский эффект Доплера: \[\frac{f'}{f_f} = \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} ,\] где \(f'\) — частота, воспринимаемая ионами He\(^+\) в аппарате, а \(\beta = v/c\). Иными словами, уменьшенная гравитацией частота \(f_f\) увеличилась до \(f'\) из-за скорости ионов в аппарате, направленной к звезде. Поскольку \(\beta \ll 1\), \[\frac{f_f}{f'} = (1-\beta)^{\frac12}(1+\beta)^{-\frac12} \simeq 1 - \beta .\] Можно также, поскольку \(\beta \ll 1\), сразу воспользоваться классическим эффектом Доплера. Тогда \[f' = \frac{f_f}{1-\beta}\] или \[\frac{f_f}{f'} = 1 - \beta .\] Поскольку для резонансного поглощения \(f'\) должна быть равна \(f_i\), имеем \[\frac{f_f}{f_i} = 1 - \beta . \qquad (2)\] Подстановка (2) в (1) даёт \[\beta = \frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+d}\right). \qquad (3)\] По экспериментальным данным будем искать эффективное графическое решение, т. е. нам нужно линейное уравнение, связывающее экспериментальные данные \(\beta\) и \(d\).

Перепишем уравнение (3): \[\beta = \frac{GM}{c^2}\left[\frac{R + d - R}{(R+d)R}\right].\] Обращая уравнение, получаем \[\frac{1}{\beta} = \left(\frac{Rc^2}{GM}\right)\left[\frac{R}{d} + 1\right]\] или \[\boxed{\frac{1}{\beta} = \left(\frac{R^2c^2}{GM}\right)\frac{1}{d} + \frac{Rc^2}{GM}}\] График зависимости \(\dfrac{1}{\beta}\) от \(\dfrac{1}{d}\):

На рисунке: slope — угловой коэффициент; intercept — точка пересечения с осью.

Угловой коэффициент равен \[\left(\frac{Rc^2}{GM}\right)R = \alpha R , \qquad (\text{A})\] точка пересечения с осью \(\dfrac{1}{\beta}\) равна \[\left(\frac{Rc^2}{GM}\right) = \alpha , \qquad (\text{B})\] а точка пересечения с осью \(\dfrac{1}{d}\) равна \[-\frac{1}{R} . \qquad (\text{C})\] \(R\) и \(M\) удобно определить из (A) и (B). Уравнение (C) избыточно, однако при необходимости его можно использовать для (неточной) проверки.

По заданным данным: \[R = 1{,}11 \times 10^8\text{ м}, \qquad M = 5{,}2 \times 10^{30}\text{ кг}.\] По графику угловой коэффициент \[\alpha R = 3{,}2 \times 10^{12}\text{ м}, \qquad (\text{A})\] точка пересечения с осью \(\dfrac{1}{\beta}\) \[\alpha = \frac{Rc^2}{GM} = 0{,}29 \times 10^5 . \qquad (\text{B})\] Деля (A) на (B), получаем \[R = \frac{3{,}2 \times 10^{12}\text{ м}}{0{,}29 \times 10^5} \simeq \boxed{1{,}104 \times 10^8\text{ м}}\] Подставляя это значение \(R\) обратно в (B), получаем \[M = \frac{Rc^2}{g\alpha} = \frac{(1{,}104 \times 10^8) \times (3{,}0 \times 10^8)^2}{(6{,}7 \times 10^{-11}) \times (0{,}29 \times 10^5)}\]

или \(M = 5{,}11 \times 10^{30}\text{ кг}\).

(c) (i)

На рисунке: Atom before the decay — атом до распада; Atom and photon after the decay — атом и фотон после распада.

Для фотона импульс равен \(p = \dfrac{hf}{c}\), а энергия \(E = hf\).

Воспользуемся эквивалентностью массы и энергии \(E = mc^2\), чтобы связать изменение внутренней энергии атома с изменением массы покоя: \[\Delta E = (m_0 - m_0')\,c^2 . \qquad (1)\]

В лабораторной системе отсчёта энергия до испускания равна \[E = m_0c^2 . \qquad (2)\] Вспоминая релятивистское соотношение \[E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4 ,\] получаем энергию после испускания фотона: \[E = \sqrt{p^2c^2 + m_0'^2c^4} + hf , \qquad (3)\] где также \(p = hf/c\) по закону сохранения импульса. Сохранение энергии требует, чтобы (2) = (3), так что \[\left(m_0c^2 - hf\right)^2 = (hf)^2 + m_0^2c^4 ,\] \[\left(m_0c^2\right)^2 - 2hfm_0c^2 = m_0^2c^4 .\]

Выполняя преобразования и используя уравнение (1), получаем \[\begin{aligned} hf(2m_0c^2) &= (m_0^2 - m_0'^2)c^4\\ &= (m_0 - m_0')c^2(m_0 + m_0')c^2\\ &= \Delta E[2m_0 - (m_0 - m_0')]c^2\\ &= \Delta E[2m_0c^2 - \Delta E], \end{aligned}\] \[hf = \Delta E\left(1 - \frac{\Delta E}{2m_0c^2}\right).\]

(ii) Для испущенного фотона \[hf = \Delta E\left(1 - \frac{\Delta E}{2m_0c^2}\right).\] Если пренебречь релятивистскими эффектами, то \(hf_0 = \Delta E\). Следовательно, релятивистский сдвиг частоты \(\dfrac{\Delta f}{f_0}\) равен \[\frac{\Delta f}{f_0} = \frac{\Delta E}{2m_0c^2} .\] Для перехода в He\(^+\) (\(n = 2 \to 1\)) по теории Бора для водородоподобного иона гелия \[\Delta E = 13{,}6 \times 2^2 \times \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) = 40{,}8\text{ эВ}.\] Кроме того, \(m_0c^2 = 3{,}752 \times 10^6\text{ эВ}\). Следовательно, сдвиг частоты из-за отдачи \[\frac{\Delta f}{f_0} \simeq 5{,}44 \times 10^{-12} .\] Это очень мало по сравнению с гравитационным красным смещением \(\dfrac{\Delta f}{f} \sim 10^{-5}\), и в эксперименте по гравитационному красному смещению этим можно пренебречь.