Распространение звука

Слоистая среда — закон преломления в виде \(\sin\theta/c = \text{const}\) вдоль луча. При линейной зависимости \(c(z)\) кривизна луча оказывается постоянной. Лучи, приходящие в \(H\), состоят из нескольких одинаковых дуг, поочерёдно выше и ниже оси.

(a) Закон Снеллиуса можно записать в виде \[\frac{\sin\theta}{\sin\theta_0} = \frac{c}{c_0} , \qquad (1)\] где \(c\) — скорость звука.

Рассмотрим элемент пути луча \(ds\) и будем считать его локально дугой окружности радиусом \(R\). Заметим, что \(R\) может принимать любое значение от 0 до \(\infty\). Рассмотрим луч, первоначально направленный из \(S\) вверх.

На рисунке \(ds = R\,d\theta\), или \(\dfrac{ds}{d\theta} = R\).

Из уравнения (1) для малого изменения скорости \(dc\) \[\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin\theta_0}{c_0}\,dc .\] Для луча, направленного вверх, \(c = c_0 + bz\), так что \(dc = b\,dz\) и \[\frac{\sin\theta_0}{c_0}\,b\,dz = \cos\theta\,d\theta , \quad\text{откуда}\quad dz = \frac{c_0}{\sin\theta_0}\,\frac{1}{b}\cos\theta\,d\theta .\] Можно также записать (считая здесь \(ds\) прямолинейным) \(dz = ds\cos\theta\). Поэтому \[ds = \frac{c_0}{\sin\theta_0}\,\frac{1}{b}\,d\theta .\] Следовательно, \[\frac{ds}{d\theta} = R = \frac{c_0}{\sin\theta_0}\,\frac{1}{b} .\] Строго говоря, этот результат относится к малым отрезкам дуги \(ds\). Однако, как видно из уравнения (1), он справедлив для всех \(\theta\), т. е. для всех точек траектории, которая, следовательно, представляет собой дугу окружности радиусом \(R\), пока луч не войдёт в область \(z < 0\).

(b)

Здесь \[\begin{aligned} z_s &= R - R\sin\theta_0\\ &= R(1 - \sin\theta_0)\\ &= \frac{c_0}{b\sin\theta_0}(1 - \sin\theta_0), \end{aligned}\] откуда \[\theta_0 = \sin^{-1}\left[\frac{c_0}{bz_s + c_0}\right].\]

(c)

Простейший путь между \(S\) и \(H\) — одна дуга окружности, проходящая через \(S\) и \(H\). Для этого пути \[X = 2R\cos\theta_0 = \frac{2c_0\cos\theta_0}{b\sin\theta_0} = \frac{2c_0}{b}\cot\theta_0 .\] Отсюда \[\cot\theta_0 = \frac{bX}{2c_0} .\] Следующая возможность — две дуги окружностей, соединённые так, как показано на рисунке.

Для этого пути \[\frac{X}{2} = 2R\cos\theta_0 = \frac{2c_0}{b}\cot\theta_0 ,\] т. е. \[\cot\theta_0 = \frac{bX}{4c_0} .\] В общем случае при \(\theta_0 < \frac{\pi}{2}\) лучи, выходящие из \(S\), достигают \(H\) за \(n\) дуг при углах вылета \[\theta_0 = \cot^{-1}\left[\frac{bX}{2nc_0}\right] = \tan^{-1}\left[\frac{2nc_0}{bX}\right],\] где \(n = 1, 2, 3, 4, \ldots\)

Заметим, что при \(n = \infty\) получаем \(\theta_0 = \frac{\pi}{2}\), как и следует ожидать для осевого луча.

(d) При заданных значениях четыре наименьших значения угла вылета таковы:

(e) Траектория луча, соответствующая наименьшему углу вылета, состоит из одной дуги, как показано на рисунке:

Мы ищем \[\int_1^3 dt = \int_1^3 \frac{ds}{c} .\] Сначала найдём \[t_{12} = \int_1^2 \frac{ds}{c} = \int_{\theta_0}^{\pi/2} \frac{R\,d\theta}{c} .\] Используя \[R = \frac{c}{b\sin\theta} ,\] получаем \[t_{12} = \frac{1}{b}\int_{\theta_0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sin\theta} ,\] так что \[t_{12} = \frac{1}{b}\left[\ln\tan\frac{\theta}{2}\right]_{\theta_0}^{\pi/2} = -\frac{1}{b}\ln\tan\frac{\theta_0}{2} .\] Учитывая, что \(t_{13} = 2t_{12}\), получаем \[t_{13} = -\frac{2}{b}\ln\tan\frac{\theta_0}{2} .\] При заданном \(b\) это даёт для наименьшего угла вылета, приведённого в ответе к части (d), время распространения \[t_{13} = 6{,}6546\text{ с}.\] Время распространения осевого луча равно \[t = \frac{X}{c_0} .\] При заданных условиях \[t_{13} = 6{,}6666\text{ с},\]

т. е. осевой луч распространяется медленнее, чем луч, рассмотренный для \(n = 1\), поэтому луч с \(n = 1\) придёт первым.