Оптическое волокно

Слоистая среда: на границе слоёв, перпендикулярных оси \(x\), сохраняется \(n\cos\theta\) (закон Снеллиуса). Уравнение для \(x(z)\) оказывается уравнением гармонических колебаний. Время пробега удобно считать интегралом \(\int n\,ds/c\) по траектории.

1.a. По обе стороны от точки O (снаружи и внутри волокна) по закону Снеллиуса имеем \[n_0\sin\theta_\text{i} = n_1\sin\theta_1 , \tag{1}\] где \(\theta_1\) — значение угла \(\theta\) в точке O внутри волокна.

Траектория света лежит в плоскости \(xOz\). Поскольку показатель преломления \(n\) меняется вдоль направления \(x\), разобьём ось \(Ox\) на малые элементы \(dx\), в каждом из которых \(n\) можно считать постоянным. Тогда \[n\sin i = (n + dn)\cdot\sin(i + di), \tag{2}\] где \(i\) — угол между траекторией света и направлением \(x\). Поскольку \(\theta + i = \dfrac{\pi}{2}\), \[n\cos\theta = (n + dn)\cdot\cos(\theta + d\theta). \tag{3}\] Таким образом, в каждой точке траектории света с координатой \(x\) \[n\cos\theta = n_1\sqrt{1 - \alpha^2x^2}\,\cos\theta = n_1\cos\theta_1 . \tag{4}\] Поскольку \[\cos\theta_1 = \sqrt{1 - \sin^2\theta_1} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2\theta_\text{i}}{n_1^2}}, \tag{5}\] имеем \[n\cos\theta = n_1\cos\theta_1 = n_1\sqrt{1 - \frac{\sin^2\theta_\text{i}}{n_1^2}} = \sqrt{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}.\] Тогда \[n\cos\theta = C = \sqrt{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}. \tag{6}\]

1.b. Поскольку \(\dfrac{dx}{dz} = x' = \tg\theta\), из (6) имеем

\[n_1\sqrt{1 - \alpha^2x^2}\,\cos\theta = n_1\sqrt{1 - \alpha^2x^2}\left(1 + \tg^2\theta\right)^{-1/2} = C. \tag{7}\] Возводя обе части в квадрат, получаем \[\left(1 - \alpha^2x^2\right)\left(1 + \tg^2\theta\right)^{-1} = \frac{C^2}{n_1^2}\] и \[1 + x'^2 = (1 - \alpha^2x^2)\frac{n_1^2}{C^2}. \tag{8}\] Продифференцировав обе части (8) по \(z\), получаем \[x'' + \frac{\alpha^2n_1^2}{C^2}x = 0. \tag{9}\] Поскольку \(n = n_1\sqrt{1 - \alpha^2x^2}\) и

– \(n = n_1\) при \(x = 0\),

– \(n = n_2\) при \(x = a\),

получаем \[\alpha = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{a\cdot n_1}.\] Окончательно уравнение для \(x''\): \[x'' + \frac{n_1^2 - n_2^2}{a^2(n_1^2 - \sin^2\theta_i)}\cdot x = 0. \tag{10}\]

1.c. Уравнение траектории света получается решением (10). Это уравнение, аналогичное уравнению гармонических колебаний, решение которого можно сразу записать: \[x = x_0\sin(pz + q), \tag{11}\] где \[p = \frac1a\sqrt{\frac{n_1^2 - n_2^2}{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}}.\] Параметры \(p\) и \(q\) определяются из граничных условий:

– при \(z = 0\) \(x = 0\), следовательно, \(q = 0\);

– при \(z = 0\) внутри волокна \(x' = \dfrac{dx}{dz} = \tg\theta_1\), тогда \[x_0 = \frac{\tg\theta_1}{p} = \frac{a\cdot\sin\theta_\text{i}}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}. \tag{12}\] Уравнение траектории света внутри волокна: \[x = \frac{a\sin\theta_\text{i}}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}\cdot\sin\left(\sqrt{\frac{n_1^2 - n_2^2}{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}}\cdot\frac{z}{a}\right). \tag{13}\]

1.d. Вот набросок траекторий двух лучей, входящих в волокно в точке O под разными углами падения.

2.a. Условие распространения света вдоль волокна: \(x_0 \le a\). Это означает, что \[\frac{a\sin\theta_\text{i}}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}} \le a ,\] или \[\sin\theta_\text{i} \le \sqrt{n_1^2 - n_2^2}. \tag{14}\] Таким образом, угол падения \(\theta_\text{i}\) не должен превышать \(\theta_\text{iM}\), где \[\sin\theta_\text{iM} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = 0{,}344, \tag{14a}\] или \[\theta_\text{i} \le \theta_\text{iM} = \arcsin\left(\sqrt{n_1^2 - n_2^2}\right) = \arcsin 0{,}344 = 0{,}351\text{ рад} = 20{,}13^\circ .\]

2.b. Точки пересечения светового пучка с осью \(Oz\) должны удовлетворять условию \(pz = k\pi\), где \(k\) — целое. Координаты \(z\) этих точек: \[z = \frac{k\pi}{p} = k\pi a\sqrt{\frac{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}{n_1^2 - n_2^2}}, \tag{15}\] за исключением случая \(\theta_\text{i} = 0\).

3.a. Лучи, входящие в волокно под разными углами падения, имеют разные траектории. Как следствие, скорости распространения лучей вдоль волокна должны быть разными.

Траектории света синусоидальны, как дано в (13). Вычислим время \(\tau\), за которое свет распространяется от точки O до первой точки пересечения с осью \(Oz\). Оно вдвое больше времени распространения света от точки O до положения, наиболее удалённого от оси \(Oz\).

Время, за которое свет проходит малый отрезок \(ds\) своей траектории, \[\begin{aligned} dt &= \frac{n}{c}ds = \frac{n}{c}\sqrt{dx^2 + dz^2} = \frac{n}{c}\sqrt{1 + \frac{dz^2}{dx^2}}\cdot dx \\ &= \frac{n}{c}\sqrt{1 + \left(\frac{1}{\tg\theta}\right)^2}\cdot dx = \frac{n}{c}\frac{dx}{\sin\theta}. \end{aligned}\]

Из (6) имеем \[dt = \frac{n_1^2\left(1 - \alpha^2x^2\right)}{c\cdot\sqrt{\sin^2\theta_\text{i} - n_1^2\alpha^2x^2}}\cdot dx\] и \[\begin{aligned} \frac{\tau}{2} &= \int_0^{x_0}dt = \frac{n_1^2}{c}\left[\int_0^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{\sin^2\theta_\text{i} - n_1^2\alpha^2x^2}} - \alpha^2\int_0^{x_0}\frac{x^2\,dx}{\sqrt{\sin^2\theta_\text{i} - n_1^2\alpha^2x^2}}\right] \\ &= \frac{n_1^2}{c}\left[I_1 - \alpha^2I_2\right], \end{aligned} \tag{16}\] где \[I_1 = \frac{1}{n_1\alpha}\arcsin\left.\frac{n_1\alpha x}{\sin\theta_\text{i}}\right|_0^{x_0} = \frac{\pi a}{2\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}, \tag{17}\] \[I_2 = \left.\frac{-x\sqrt{\sin^2\theta_\text{i} - n_1^2\alpha^2x^2}}{2n_1^2\alpha^2}\right|_0^{x_0} + \left.\frac{\sin^2\theta_\text{i}\cdot\arcsin\dfrac{n_1\alpha x}{\sin\theta_\text{i}}}{2n_1^3\alpha^3}\right|_0^{x_0} = \frac{\pi\sin^2\theta_\text{i}}{4n_1^3\alpha^3}. \tag{18}\] Используя (16), (17), (18), получаем \[\tau = \frac{\pi a\cdot n_1^2}{c\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}\left(1 - \frac{\sin^2\theta_\text{i}}{2n_1^2}\right). \tag{19}\] Скорость распространения вдоль волокна \(v = \dfrac{z}{\tau}\), где \(z\) — координата первой точки пересечения, определяемая (15) при \(k = 1\). Поскольку \(z\) и \(\tau\) зависят от угла падения \(\theta_\text{i}\), \(v\) тоже зависит от \(\theta_\text{i}\).

При \(\theta_\text{i} = \theta_\text{iM}\) из (14a) получаем \[v_\text{M} = \frac{\pi an_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}\cdot\frac{2c\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{\pi an_1^2}\left(1 + \frac{n_2^2}{n_1^2}\right)^{-1} = \frac{2cn_2}{n_1^2 + n_2^2} \tag{20}\] и \[v_\text{M} = \frac{2\times2{,}998\times10^8\times1{,}460}{1{,}500^2 + 1{,}460^2} = 1{,}998\times10^8\text{ м/с}. \tag{20a}\] Скорость распространения света вдоль оси \(Oz\) \[v = \frac{c}{n_1}, \tag{21}\] поскольку на оси волокна показатель преломления равен \(n_1\). Численное значение \[v_0 = \frac{2{,}998\times10^8}{1{,}5} = 1{,}999\times10^8\text{ м/с}. \tag{21a}\]

3.b. Если пучок световых импульсов образован лучами, сходящимися в O, то лучи с разными углами падения имеют разные скорости распространения. Два луча с углами падения \(\theta_i = 0\) и \(\theta_i = \theta_\text{iM}\) приходят в плоскость \(z\) с задержкой \[\Delta t = \frac{z}{v_\text{M}} - \frac{z}{v_0} = \frac{z}{c}\cdot\frac{(n_1 - n_2)^2}{2n_2}. \tag{22}\] Это означает, что очень короткий световой импульс в плоскости \(z\) становится импульсом конечной длительности \(\Delta t\), даваемой (22). Если два последовательных импульса входят в волокно с задержкой больше \(\Delta t\), то в плоскости \(z\) они разделены. Следовательно, частота повторения импульсов не должна превышать максимального значения \[f_\text{M} = (\Delta t)^{-1} = \frac{2\cdot c\cdot n_2}{z\cdot(n_1 - n_2)^2}. \tag{23}\] Если \(z = 1000\) м, то \[f_\text{M} = \frac{2\times2{,}998\times10^8\times1{,}460}{1000\times(1{,}500 - 1{,}460)^2} = 547{,}1\text{ МГц}.\]