Сжатие и расширение системы двух газов

Пока пар не насыщен, оба газа сжимаются изотермически при равных давлениях; при давлении \(1\) атм (кипение при \(373\) К) пар конденсируется при постоянном давлении. С трением перегородка движется лишь при разности давлений \(0{,}5\) атм — прослеживайте состояния по таблице. В пункте 3 процесс адиабатический для системы двух газов в целом.

1.a. Изотерма показана на рис. 1.

\[\begin{aligned} V_0 &= \frac{RT_1}{p_1} = \frac{8{,}31\times373}{0{,}5\times1{,}013\times10^5} = 0{,}0612\text{ м}^3 \\ &= 61{,}2\text{ дм}^3 . \end{aligned}\]

b. Процесс сжатия можно разбить на 3 стадии: \[\underset{(1)}{(p_1, 2V_0)} \;\to\; \underset{(2)}{(2p_1, V_0)} \;\to\; \underset{(3)}{(2p_1, V_0/2)} \;\to\; \underset{(4)}{(4p_1, V_0)}\]

Работу на каждой стадии можно вычислить так: \[A_{12} = -\int_{2V_0}^{V_0}p\,dV = 2RT_1\int_{V_0}^{2V_0}\frac{dV}{V} = 2RT_1\ln2 = 4297\text{ Дж},\] \[A_{23} = 2p_1(V_0 - V_0/2) = RT_1 = 3100\text{ Дж},\] \[A_{34} = -\int_{\frac12V_0}^{\frac14V_0}p'\,dV = RT_1\int_{\frac14V_0}^{\frac12V_0}\frac{dV}{V} = RT_1\ln2 = 2149\text{ Дж}.\] Полная работа сжатия газов: \[A = A_{12} + A_{23} + A_{34} = 9545\text{ Дж} \cong 9{,}55\text{ кДж}. \tag{1}\]

c. На второй стадии 23 весь водяной пар (один моль) конденсируется. Количество теплоты \(Q'\), отданное в этом процессе, равно сумме работы \(A\) и уменьшения \(\Delta U\) внутренней энергии одного моля водяного пара при конденсации: \[Q' = \Delta U + A_{12} + A_{23} + A_{34}.\] Можно заметить, что \(\Delta U + A_{23}\) — теплота, выделяющаяся при конденсации одного моля водяного пара, и она равна \(0{,}018\times L\). Таким образом, \[Q' = \Delta U + A_{11} + A_{23} + A_{34} = 0{,}018\times L + A_{11} + A_{34} = 46{,}946\text{ Дж} \cong 47\text{ кДж}. \tag{2}\]

2. Процесс сжатия (2.a) и расширения (2.c) газов можно разбить на несколько стадий. Стадии ограничены следующими состояниями (обозначения — как в таблице условия):

a. См. рис. 2 ниже.

b. Работа \(A_\text{p}\), совершённая поршнем при сжатии газов, равна сумме работы \(A\), вычисленной в пункте 1, и работы силы трения. Последняя равна \(0{,}5\text{ атм}\times V_0 = p_1V_0\) (сила трения скольжения действует в процессе 234, во время которого смещение перегородки NM соответствует изменению объёма левого отсека на \(V_0\)). Тогда \[A_\text{p} = A + p_1V_0 = 9545 + 8{,}31\times373 = 12645\text{ Дж} \cong 12{,}65\text{ кДж}.\]

c. В процессе 89 давление в левом отсеке всё время больше давления в правом (на \(0{,}5\) атм). Если \(p\) — давление в правом отсеке, то давление в левом будет \(p + 0{,}5\) атм.

Пусть \(V\) — общий объём в процессе 89, тогда \[\frac{RT_1}{p} + \frac{RT_1}{p + 0{,}5} = V .\] При \(V = 2V_0 = \dfrac{2RT_1}{0{,}5}\) давление \(p\) определяется из \[\frac{RT_1}{p} + \frac{RT_1}{p + 0{,}5} = \frac{2RT_1}{0{,}5}.\] Это эквивалентно \[p + 0{,}5 + p = 4p\cdot(p + 0{,}5),\] \[p = \frac{1}{\sqrt8} = \frac{\sqrt2}{4} = 0{,}35\text{ атм}.\] Давление в правом отсеке \(p = 0{,}35\) атм.

Объём правого отсека \(\sqrt2\,V_0\).

Давление в левом отсеке \(p + 0{,}35 = 0{,}85\) атм.

Объём левого отсека \((2 - \sqrt2)V_0\).

3.a. Применим первое начало термодинамики к системе двух газов в цилиндре: \[\delta q = dU + \delta A . \tag{3}\] На элементе процесса, в котором изменения температуры и объёма равны соответственно \(dT\) и \(dV\): \[\delta q = 0;\qquad dU = (C_{V1} + C_{V2})\,dT = \left(\frac{R}{\gamma_1 - 1} + \frac{R}{\gamma_2 - 1}\right)dT;\qquad \delta A = p\,dV .\] С другой стороны, \[pV = RT . \tag{4}\] Можно получить дифференциальное уравнение процесса: \[\left(\frac{R}{\gamma_1 - 1} + \frac{R}{\gamma_2 - 1}\right)dT + p\,dV = 0\] или \[\frac{dT}{T} + \frac{(\gamma_1 - 1)(\gamma_2 - 2)}{\gamma_1 + \gamma_2 - 2}\frac{dV}{V} = 0. \tag{5}\]

Положив \[K = \frac{(\gamma_1 - 1)(\gamma_2 - 1)}{\gamma_1 + \gamma_2 - 2} = \frac{2}{11}, \tag{6}\] после интегрирования (5) получаем \[TV^K = \text{const}. \tag{7}\] Температура конденсации водяного пара при давлении \(0{,}5\) атм — это и температура кипения \(T'\) воды при том же давлении. С помощью данной приближённой формулы получаем \[\frac{1}{T'} - \frac{1}{T_0} = \left(-\frac{R}{\mu L}\right)\ln\frac{p}{p_0}.\]

– Если считать \(p\) приблизительно постоянным (с относительным отклонением около \(20/373 \approx 5\%\)), то \(T'\) легко найти: \[T' = 354\text{ К}.\] Объём \(V'\) правого отсека при температуре \(T'\) можно вычислить так: \[\begin{aligned} V' &= V_0\left(\frac{T_1}{T'}\right)^{1/K} = V_0\left(\frac{373}{354}\right)^{11/2} = 1{,}33\,V_0 \cong 1{,}3\,V_0 \\ &= 81{,}6\text{ дм}^3 = 0{,}0816\text{ м}^3 \cong 0{,}08\text{ м}^3 . \end{aligned}\]

b. Работа, совершённая газом при расширении: \[\begin{aligned} A &= -\Delta U = (C_{V1} + C_{V2})(T_0 - T') = \left(\frac{R}{\gamma_1 - 1} + \frac{R}{\gamma_2 - 2}\right)(373 - 354) \\ &= \left(\frac52R + \frac62R\right)\times19 = 868\text{ Дж} \cong 9\times10^2\text{ Дж}. \end{aligned}\]

– Если учитывать зависимость давления водяного пара \(p\) от температуры \(T'\), надо решить трансцендентное уравнение \[\frac{1}{T'} - \frac{1}{T_0} = \left(-\frac{R}{\mu L}\right)\ln\frac{1}{2}\frac{T'}{T_0} = \frac{R}{\mu L}\ln2 - \frac{R}{\mu L}\ln\frac{T'}{T_0}.\] Это уравнение можно привести к численному: \[\frac{1}{T'} - \frac{1}{373} = 1{,}422\times10^{-4} - 2{,}052\times10^{-4}\ln\frac{T'}{373}.\] Придавая \(T'\) разные значения 354, 353, 352 и выбирая то, которое удовлетворяет уравнению, находим приближённое решение \[T' = 353\text{ К}.\] При этой температуре объём правого отсека \[V' = V_0\left(\frac{373}{353}\right)^{11/2} = 1{,}35\,V_0 = 0{,}082\text{ м}^3 \cong 0{,}08\text{ м}^3 .\]

b. Работа, совершённая газом при расширении: \[A = \frac{11}{2}R\times20 = 914\text{ Дж} \cong 9\times10^2\text{ Дж}.\]