Тонущий стакан

1. В силу закона Архимеда разность уровней воды в стакане и в сосуде при погружении стакана будет постоянна и равна \(H\). Стакан утонет, когда в нём накопится вода массой \(m = \rho_w\pi r^2h\) (рис. 136).

2. Когда жидкость находится в термодинамическом равновесии со своим паром, поток молекул, вылетающих из жидкости, равен потоку молекул пара, «прилипающих» к поверхности жидкости: \[\Phi = \alpha\cdot\dfrac{1}{4}nv,\] где \(n\) — концентрация, \(v\) — средняя скорость молекул пара. После подстановки \[n = \dfrac{P}{kT}\qquad\text{и}\qquad v = \sqrt{\dfrac{8RT}{\pi\mu}}\] получаем \[\Phi = \dfrac{\alpha P}{k}\sqrt{\dfrac{R}{2\pi\mu T}}.\] Здесь приведена точная формула для \(\Phi\), однако следует считать правильными ответы с немного отличающимися числовыми коэффициентами, которые могут возникнуть, например, из-за подстановки среднеквадратичной скорости \(v_{\text{ср.кв.}} = \sqrt{3RT/\mu}\) в качестве \(v\) или из-за использования «школьной» формулы для потока, содержащей коэффициент \(1/6\) вместо \(1/4\).

3. Давление газа монотонно зависит от высоты, поэтому пар может быть насыщенным лишь на некоторой одной высоте. Поскольку по условию сосуд большой по сравнению со стаканом, насыщенным пар будет именно на уровне поверхности воды в сосуде, а не на уровне поверхности воды в стакане. Пусть \(P_0\) и \(n_0\) — соответственно давление и концентрация пара на уровне поверхности воды в стакане, тогда из уравнения Менделеева–Клапейрона находим среднюю плотность пара в погружённой части стакана: \[\rho = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\mu P}{RT} + \dfrac{\mu P_0}{RT}\right) \approx \dfrac{\mu P}{RT},\] где подставлено \(P_0 \approx P\), так как в данном случае учёт разницы давлений проявился бы в дальнейшем лишь как поправка второго порядка малости. Теперь найдём добавочное гидростатическое давление столба пара в стакане: \[\Delta P = P_0 - P = \rho gH = \dfrac{\mu PgH}{RT}\] и искомую разность концентраций: \[\Delta n = n_0 - n = \dfrac{P_0}{kT} - \dfrac{P}{kT} = \dfrac{\Delta P}{kT} = \dfrac{\mu PgH}{kRT^2}.\] 4. Стакан утонет из-за постепенного накопления в нём воды, возникшей в результате конденсации пара. При этом пар будет конденсироваться на внутренней поверхности погружённой части стакана, так как в этой области давление пара будет превышать давление насыщенного пара при данной температуре на величину гидростатического давления столба пара.

Далее приведён расчёт в предположении, что внутренние стенки стакана до уровня поверхности воды в сосуде влажные, то есть покрыты тонким слоем воды, однако можно считать верными решения участников с использованием модели сухих стенок. Общее количество молекул, вылетающих с полной поверхности воды площадью \(S\) за время \(t\): \[Z_1 = \Phi\cdot S\cdot t = \dfrac{\alpha}{4}nv\cdot(\pi r^2 + 2\pi rH)\cdot t.\] Поток молекул, «прилипающих» к воде за то же время, определяется концентрацией пара на соответствующем уровне: \[Z_2 = \dfrac{\alpha}{4}n_0v\cdot\pi r^2\cdot t + \dfrac{\alpha}{4}n_{\text{ср}}v\cdot2\pi rH\cdot t,\] где \(n_{\text{ср}} = (n + n_0)/2 = n + \Delta n/2\) — средняя концентрация пара в погружённой части стакана. В отличие от рассуждений при расчёте \(\rho\), здесь нельзя полагать \(n_{\text{ср}} \approx n\), так как далее основную роль играет именно разность этих величин. Найдём превышение числа «прилипающих» молекул над числом вылетающих: \[\Delta Z = Z_2 - Z_1 = \dfrac{\alpha}{4}\Delta nv\cdot\pi r^2t + \dfrac{\alpha}{4}\dfrac{\Delta n}{2}v\cdot2\pi rHt = \dfrac{\pi}{4}\alpha\Delta nvr(r + H)t.\] Стакан утонет, когда общая масса накопившихся в нём молекул воды станет равна \(m\), то есть при выполнении условия \[\Delta Z\cdot\dfrac{\mu}{N_A} = m,\] где \(\mu/N_A\) — масса одной молекулы. Подставим сюда выражения для \(\Delta Z\) и \(m\): \[\dfrac{\pi}{4}\alpha\Delta nvr(r + H)t\cdot\dfrac{\mu}{N_A} = \rho_w\pi r^2h.\] Далее подставим выражения для \(\Delta n\) и \(v\): \[\dfrac{\pi}{4}\alpha\cdot\dfrac{\mu PgH}{kRT^2}\cdot\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi\mu}}\cdot r(r + H)t\cdot\dfrac{\mu}{N_A} = \rho_w\pi r^2h.\] Используя соотношение \(kN_A = R\), окончательно получаем \[t = \dfrac{\sqrt{2\pi}\rho_w}{\alpha Pg}\cdot\left(\dfrac{RT}{\mu}\right)^{3/2}\cdot\dfrac{r}{r + H}\cdot\dfrac{h}{H}.\] Аналогично второму пункту оценочные ответы, отличающиеся только числовыми коэффициентами, следует считать правильными.