Третий полёт Вовочки

1. Вопрос про направление вращения по сути проверяет знание пары широко известных астрономических фактов:

а) Полярная звезда (она же \(\alpha\) Малой Медведицы) находится вблизи северного полюса мира (точки пересечения оси суточного вращения Земли с воображаемой небесной сферой);

б) почти все вращения в Солнечной системе направлены в одну сторону, что является следствием процесса формирования Солнечной системы.

Вспоминая расположение сторон света и тот факт, что восход Солнца наблюдается на востоке, делаем вывод: Земля на экране вращалась вокруг Солнца против часовой стрелки (рис. 120).

2. Пусть \(T = 1\) год \(\approx 3{,}15\cdot10^7\) с — период орбитального движения Земли, тогда \(n = T/\tau \approx 365\) — число кадров за время одного оборота, \(T_v = n/\nu \approx 15\) с — период вращения, наблюдаемого на экране. Находим искомую угловую скорость: \[\omega = \dfrac{2\pi}{T_v} = \dfrac{2\pi\nu\tau}{T} \approx 0{,}41\text{ с}^{-1}.\] 3. Расстояния от корабля до Солнца в начале и в конце фотосессии соответственно: \[L_1 = \dfrac{R}{\sin\varphi} \approx \dfrac{R}{\varphi},\qquad L_2 \approx \dfrac{R}{\varphi/k} = \dfrac{kR}{\varphi}.\] Надём искомую среднюю скорость: \[v = \dfrac{L_2 - L_1}{NT} = \dfrac{R(k - 1)}{\varphi NT} \approx 109\text{ км/с}.\] 4. Пусть \(\gamma\) — гравитационная постоянная, \(M\) — масса Солнца, \(\mu\) — масса Земли, тогда согласно второму закону Ньютона для движения Земли по окружности \[\dfrac{\gamma M\mu}{R^2} = \mu\cdot\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2R,\] откуда \[\gamma M = \dfrac{4\pi^2R^3}{T^2}.\] Пусть \(m\) — масса корабля, \(v_1\) и \(v_2\) — его скорости соответственно в начале и в конце фотосессии, тогда из закона сохранения энергии \[\dfrac{mv_1^2}{2} - \dfrac{\gamma Mm}{L_1} = \dfrac{mv_2^2}{2} - \dfrac{\gamma Mm}{L_2}\] получаем \[v_2^2 - v_1^2 = -2\gamma M\left(\dfrac{1}{L_1} - \dfrac{1}{L_2}\right).\] Для оценки можно считать, что \(v_2 + v_1 \approx 2v\), тогда с помощью формулы для разности квадратов находим \[\Delta v = v_2 - v_1 \approx -\dfrac{\gamma M}{v}\left(\dfrac{1}{L_1} - \dfrac{1}{L_2}\right) = -\dfrac{4\pi^2\varphi^2NR}{kT} \approx -95\text{ м/с}.\] Использованное приближение оправдано, так как \(\Delta v \ll v\).

5. Пусть \(v_0\) — минимальная скорость, которую нужно сообщить кораблю, находящемуся на расстоянии \(R\) от Солнца, чтобы после этого он сумел с выключенными двигателями покинуть Солнечную систему, тогда согласно закону сохранения энергии \[\dfrac{mv_0^2}{2} - \dfrac{\gamma Mm}{R} = 0,\] откуда \[v_0 = \sqrt{\dfrac{2\gamma M}{R}} = \dfrac{2\pi R}{T}\sqrt{2} \approx 42\text{ км/с}.\] Из первой части формулы для \(v_0\) следует, что чем больше начальное расстояние, тем при меньшей скорости корабль может покинуть Солнечную систему. Отметим, что вторая часть формулы для \(v_0\) не годится для такого анализа, так как \(T\) зависит от \(R\).

Поскольку корабль Вовочки имеет бо́льшую скорость (\(v_1 > v > v_0\)) на бо́льшем удалении (\(L_1 > R\)), шансов самостоятельно вернуться у него нет.