Астероид

Скорость в точке столкновения у астероида и Земли одинакова по модулю, так как большие полуоси орбит равны; относительная скорость — разность векторов. В части B при мгновенном изменении \(\gamma\) неизменной остаётся кинетическая энергия; отражение света вместо поглощения удваивает передаваемый импульс.

A) i. (a) \(v_a=2v_0\sin15^\circ\approx15{,}5\) км/с; (b) \(v_b=\sqrt{v_a^2+2gr_e}\approx19{,}1\) км/с;  ii. \(b_{\max}=r_ev_b/v_a\approx7900\) км;  iii. \(\tau/10\approx27\) с.  B) i. \(R'_{\max}=\dfrac{3}{2}\,\dfrac{R_e}{1-4\kappa}\);  ii. \(\Delta T=5T_0\kappa\);  iii. \(\kappa\approx2{,}8\times10^{-8}\);  iv. нет.

Часть A. Столкновение с Землёй.

i. Большая ось орбиты астероида \(2a=R_{\max}+R_{\min}=2R_e\) равна большой оси орбиты Земли, поэтому полные энергии, приведённые к единице массы, равны. Непосредственно перед столкновением Земля и астероид находятся на одинаковом расстоянии от Солнца, поэтому гравитационные потенциалы тоже равны. Следовательно, равны и скорости. Расстояние от Солнца до астероида равно большой полуоси, поэтому он находится на малой полуоси орбиты. Скорость астероида перпендикулярна малой полуоси, а скорость Земли — радиус-вектору, проведённому от Солнца. Значит, угол между этими двумя векторами равен углу между радиус-вектором и малой полуосью: \(\sin\alpha=\frac12(R_{\max}-R_{\min})/R_e=\frac12\), откуда \(\alpha=30^\circ\). Относительная скорость астероида — это разность двух векторов, поэтому её модуль равен \(v_a=2v_0\sin15^\circ\approx15{,}5\) км/с. При дальнейшем разгоне в гравитационном поле Земли соответствующая гравитационная энергия добавляется к кинетической: \(v_b=\sqrt{v_a^2+2gr_e}=19{,}1\) км/с.

ii. В предельном случае столкновения траектория астероида касается поверхности Земли. Тогда можно применить закон сохранения момента импульса для точки, в которой траектория касается Земли: \(v_ab=v_br_e\), откуда \(b=r_ev_b/v_a=7900\) км.

iii. Допустим, что астероид запаздывает на \(\tau\); тогда в тот момент, когда астероид находится на орбите Земли, Земля находится от него на расстоянии \(l=v_0\tau\). Относительная скорость астероида образует с этим вектором смещения угол \(90^\circ-15^\circ=75^\circ\), поэтому прицельный параметр \(b=v_0\tau\sin75^\circ\), откуда \(\tau=b/(v_0\sin75^\circ)\approx270\) с. Так как это запаздывание накапливается за 10 периодов, для одного периода требуется запаздывание \(\tau/10=27\) с.

Часть B. Изменение солнечного притяжения.

i. При изменении \(\gamma\) кинетическая энергия остаётся постоянной: \[-\frac{\gamma_0}{2a}+\frac{\gamma_0}{0{,}5R_e}=-\frac{\gamma_1}{2a'}+\frac{\gamma_1}{0{,}5R_e},\] где \(a=R_e\) и \(2a'=0{,}5R_e+R'_{\max}\). Отсюда \[\frac{\gamma_1}{2a'}=\frac{\gamma_0}{2R_e}\left(4\frac{\gamma_1}{\gamma_0}-3\right)\ \Rightarrow\ (1-\kappa)R_e=a'(1-4\kappa),\] \[a'=R_e\frac{1-\kappa}{1-4\kappa},\qquad R'_{\max}=\frac{R_e}{2}\,\frac{3}{1-4\kappa}.\]

ii. В пределе малых \(\kappa\) предыдущий результат можно упростить: \[\frac{a'}{R_e}\approx1+3\kappa .\] Из третьего закона Кеплера \(T/T_0=(a'/a)^{3/2}\sqrt{\gamma_0/\gamma_1}\), откуда \(\dfrac{\Delta T}{T_0}\approx\dfrac32\dfrac{a'-a}{a}+\dfrac\kappa2=5\kappa\). Итак, \(\Delta T=5T_0\kappa\).

iii. Для фотонов отношение энергии к массе равно \(c\). Поэтому на поверхности Солнца импульс, переносимый фотонами в единицу времени через площадку \(S\), равен \(dp/dt=S\sigma T_s^4/c\). В результате окраски фотоны отражаются астероидом назад вместо того, чтобы поглощаться. Так, до окраски каждый фотон передавал астероиду импульс, равный своему собственному; теперь он удвоится. Следовательно, изменение силы, связанное с фотонами, равно \(\Delta F=\pi r_a^2\sigma T_s^4/c\) (в предположении, что астероид находится на поверхности Солнца). И давление фотонов, и сила тяготения обратно пропорциональны квадрату расстояния до Солнца, поэтому силу, связанную с фотонами, действительно можно рассматривать как поправку к гравитационной постоянной. Величина \(\kappa\) — относительное изменение этой постоянной — для поверхности Солнца вычисляется так: \[\kappa=\Delta F/g_Sm_a=\pi r_a^2\sigma T_s^4/(c\,g_Sm_a)\approx2{,}8\times10^{-8}.\]

iv. Нужно, чтобы \(\Delta T=27\) с, значит, \(\kappa=\frac15\frac{\Delta T}{T_0}\approx1{,}7\times10^{-7}\). Это на порядок превышает эффект, даваемый окраской. Величина \(\kappa\), обеспечиваемая окраской, обратно пропорциональна диаметру астероида, а необходимая величина \(\kappa\) обратно пропорциональна \(N\). Поэтому предотвратить столкновение было бы возможно при \(r_a=2\) м или при \(r_a=10\) м и \(N=60\). В первом случае астероид может оказаться недостаточно большим, чтобы заслуживать внимания; во втором случае 60 лет — слишком долгий срок. Итак, ответ — «нет».

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.