Упругое столкновение

В системе центра масс импульсы шаров равны по модулю и противоположны по направлению, а упругий удар меняет только их направление, не модуль. В лабораторной системе импульс тяжёлого шара равен \(M\vec u-\vec p\,'\), где модуль \(\vec p\,'\) неизменен.

i. \(|\vec p|=\dfrac{Mm}{M+m}v\) у обоих шаров, импульсы противоположны;  ii. модули не меняются;  iii. \(\alpha_{\max}=\arcsin\dfrac mM\).

i. Центр масс движется со скоростью \(\vec u=\dfrac{M}{M+m}\vec v\), и это будет скорость малого шара в новой системе отсчёта, а значит, его импульс \(\vec p=-m\vec u=-\dfrac{Mm}{M+m}\vec v\). Так как в этой системе центр масс покоится, большой шар должен иметь равный по модулю и противоположный по направлению импульс.

ii. Пусть шары изменили импульс на \(\vec q\). Малый шар будет иметь импульс \(\vec p\,'=\vec p+\vec q\), а так как центр масс остаётся неподвижным, большой шар будет иметь импульс \(-\vec p\,'\). Закон сохранения энергии теперь можно записать так: \[\frac{\vec p^{\,2}}{2m}+\frac{\vec p^{\,2}}{2M}=\frac{\vec p\,'^2}{2m}+\frac{\vec p\,'^2}{2M}\ \Rightarrow\ |\vec p|=|\vec p\,'|,\] то есть модули импульсов останутся неизменными.

iii. В лабораторной системе отсчёта импульс большого шара будет равен \(\vec p\,''=M\vec u-\vec p\,'\); поскольку \(|\vec p\,'|\) остаётся постоянным, угол \(\alpha\) между \(\vec p\,''\) и \(\vec u\) будет максимальным, когда \(\vec p\,''\perp\vec p\,'\), при этом \[\alpha=\arcsin\frac{|\vec p\,'|}{|M\vec u|}=\arcsin\frac mM.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.