Распад урана

Первый период полураспада намного длиннее остальных, поэтому в цепочке устанавливается квазистационарное состояние: число распадов в единицу времени у всех изотопов одинаково. Тепло в шаре уходит наружу теплопроводностью.

i. \(N_{234}/N\approx5{,}53\times10^{-5}\);  ii. \(w\approx2{,}0\) Вт/м\(^3\);  iii. \(R\approx305\) м.

i. Из таблицы видно, что первый период полураспада намного больше всех остальных. Это означает, что как только что-то образуется при распаде \(^{238}\)U, все остальные стадии распада в цепочке происходят почти сразу, и для остальных изотопов достигается квазистационарный уровень концентрации — такой, что число распадов изотопа в единицу времени равно числу распадов \(^{238}\)U. Применим это к \(^{234}\)U. Если число атомов \(^{238}\)U равно \(N_{238}\), то число распадов в единицу времени \(\dfrac{dN}{dt}=N_{238}\ln2/\tau_{238}=N_{234}\ln2/\tau_{234}\), откуда \(N_{234}/N_{238}=\tau_{234}/\tau_{238}\). Полное число атомов урана равно \(N=N_{238}/0{,}993\), поэтому \[\frac{N_{234}}{N}=\frac{\tau_{234}}{0{,}993\,\tau_{238}}\approx5{,}53\times10^{-5}.\]

ii. Так как урановая руда достигла квазистационарного изотопного состава, на каждый распад \(^{238}\)U приходится по одному акту распада каждого из изотопов. Поэтому нужно сложить все энергии распада из второй строки таблицы, это даёт \(E_{\text{расп}}=52{,}1\) МэВ. Тогда мощность тепловыделения равна \[w=N_A\frac{\rho}{\mu}E_{\text{расп}}\frac{\ln2}{\tau_{238}}\approx2{,}0\text{ Вт/м}^3.\]

iii. Выделяющаяся теплота будет уходить благодаря теплопроводности. Внутри шара радиуса \(r\) выделяется теплота \(\frac43\pi wr^3=4\pi r^2\kappa\dfrac{dT}{dr}\) (правая часть даёт тепловой поток за счёт теплопроводности). Из этого уравнения получаем \(r\,dr=3\dfrac{\kappa}{w}\,dT\), что после интегрирования даёт \[R=\sqrt{6\frac{\kappa}{w}(T_0-T_a)}\approx305\text{ м}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.