Реактор Окло

Число ядер изотопа убывает как \(2^{-t/\tau}\), поэтому \(T_0\) лет назад содержание \(^{235}\)U было выше; мощность находится по числу разделившихся ядер, а вся энергия идёт на нагрев и испарение воды.

1) \(\approx3{,}16\,\%\);  2) \(\approx7{,}7\times10^{7}\) Вт;  3) реактор саморегулировался: при перегреве вода (замедлитель) испарялась, при удвоении притока воды мощность удваивалась;  4) \(\approx9\times10^{13}\) кг.

i) Скорость естественного распада пропорциональна количеству распадающегося вещества. Если \(\nu\) — количество \(^{235}\)U в некоторый момент времени, то \(\dfrac{d\nu}{dt}=-k\nu\) при некоторой положительной постоянной \(k\). Тогда \(\dfrac{\nu_b}{\nu_a}=e^{-k(t_b-t_a)}\) для моментов \(t_b>t_a\). Период полураспада определяется как время, за которое количество вещества уменьшается вдвое, поэтому \(k\tau_5=\ln2\), \(k=\dfrac{\ln2}{\tau_5}\), \(\dfrac{\nu_b}{\nu_a}=(e^{\ln2})^{-\frac{t_b-t_a}{\tau_5}}=2^{-\frac{t_b-t_a}{\tau_5}}\). Следовательно, количество \(^{235}\)U в природном уране, когда работал реактор Окло, было в \(2^{T_0/\tau_5}\) раз больше. Аналогично, количество \(^{238}\)U было в \(2^{T_0/\tau_8}\) раз больше. Естественное содержание \(^{235}\)U \(T_0\) лет назад \[R_1\approx\frac{\dfrac{\nu_5}{\nu_8}\,2^{T_0/\tau_5}}{\dfrac{\nu_5}{\nu_8}\,2^{T_0/\tau_5}+2^{T_0/\tau_8}}\approx3{,}16\,\%,\] где \(\nu_5\) и \(\nu_8\) — числа изотопов урана. Помните, что \(R=\nu_5/(\nu_5+\nu_8)\), поэтому \(\nu_5/\nu_8=R/(1-R)\).

ii) Здесь и далее будем считать, что до начала работы реактора Окло содержание изотопов урана в нём совпадало с естественным. После окончания работы изотопы \(^{235}\)U продолжали распадаться с обычной скоростью, достигнув значения, которое мы видим сегодня.

Масса \(^{235}\)U после окончания работы реактора была \(M_1\approx2^{T_0/\tau_5}MR_O\approx1{,}84\times10^{7}\) кг.

Изотопы \(^{238}\)U распадались обычным образом, и по ним мы вычислим массу \(^{235}\)U до начала работы реактора. Масса \(^{238}\)U была примерно \(M(1-R)\,2^{T_0/\tau_8}\). Массу \(^{235}\)U до работы реактора можно оценить как \[M_0=\frac{R_1}{1-R_1}\,M(1-R)\,2^{T_0/\tau_8}\approx2{,}14\times10^{7}\ \text{кг}.\] Число ядер \(^{235}\)U, вступивших в реакцию, \[\nu=[(M_0-M_1)/0{,}235]\cdot N_A\approx7{,}61\times10^{30}.\] Выделившаяся при делении энергия равна этому значению, умноженному на \(E_0\). Средняя мощность реактора \(\nu E_0/T\approx7{,}73\times10^{7}\) Вт.

iii) Нейтроны, высвобождающиеся при делении, обычно имеют большую кинетическую энергию, при которой вероятность вызвать дальнейшие деления мала. Чтобы повысить эту вероятность, их нужно замедлить. Вода относительно хорошо замедляет нейтроны. Такое замедление называется «модерацией». Реактор не мог взорваться, потому что вода, необходимая для замедления, испарялась бы при слишком большом росте мощности. Это не позволило бы развиться неуправляемой цепной реакции. Мощность реактора зависит от присутствия воды, и поэтому работа была саморегулирующейся. Когда приток воды удваивался, мощность тоже удваивалась.

iv) Энергия, выделенная реактором, равна \(\nu E_0\). Будем считать, что подавляющая её часть пошла на нагрев и испарение воды. Пусть вода втекает при \(0\,^\circ\)C, а вытекает при \(100\,^\circ\)C. Тогда энергия, поглощаемая 1 кг воды, равна \((100\ \text{К})\,c+L=E_w=2{,}68\times10^{6}\) Дж. Полная масса воды, протёкшей через реактор Окло, равна \(\nu E_0/E_w=9{,}09\times10^{13}\) кг.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.