Треугольник

Перейдите в свободно падающую систему отсчёта: центр масс покоится, оторвавшийся шарик и центр масс пары движутся прямолинейно, а угловая скорость пары равна угловой скорости вращения всего треугольника.

1) \(\theta=\sqrt{\dfrac43\left(\dfrac{AM}{l}\right)^2-1}\approx5{,}5\) рад (\(\approx5{,}6\) рад по критериям);  2) против часовой стрелки.

Рассмотрим точки: \(A\), где находится оторвавшийся шарик, и \(M\) — середину оставшейся нити. Пусть \(G\) — центр масс трёх шариков, лежащий на отрезке \([AM]\) так, что \(GA=2GM\).

Так как на все шарики действовала одна и та же сила тяжести, можно рассмотреть их свободно падающую систему отсчёта и заметить, что наша картинка в лабораторной системе — просто параллельный перенос подобной картинки, снятой в свободно падающей системе. Поэтому мы можем работать в свободно падающей системе и считать, что и оторвавшийся шарик, и центр масс двух других шариков двигались по прямой линии (\(A\) и \(M\) двигались линейно по времени). Общий центр масс \(G\) вообще не сдвинулся.

Длину нити легко найти по рисунку; обозначим её \(l\). До обрыва нитей шарики вращались вокруг \(G\), их траектории были касательны к окружности с центром \(G\) и радиусом \(\dfrac{\sqrt3}{3}l\). Оторвавшийся шарик продолжил двигаться по такой траектории, пока не достиг точки \(A\). Поэтому мы знаем, что пройденный шариком путь равен длине его касательной к окружности \(\mathcal C\left(G,\dfrac{\sqrt3}{3}l\right)\). Эта длина равна \(\sqrt{AG^2-\dfrac{l^2}{3}}=vT\), где \(v\) — скорость оторвавшегося шарика.

Для двух шариков, оставшихся связанными, момент импульса относительно их центра масс сохранялся, и поэтому они вращались вокруг него со скоростью \(\dfrac{\sqrt3}{2}v\). Угол, на который они повернулись, равен \[\theta=\frac{\sqrt3\,v}{l}T=\frac{\sqrt{3AG^2-l^2}}{l}=\sqrt{\frac43\left(\frac{AM}{l}\right)^2-1}.\] При измеренном значении \(\dfrac{AM}{L}\approx4{,}8\) получаем \(\theta\approx5{,}5\) радиана.

Тот же угол можно найти геометрически: рассмотрим касательные из \(M\) к окружности \(\mathcal C\left(G,\dfrac{\sqrt3}{6}l\right)\). Каждая прямая отвечает одному из случаев — вращения по часовой стрелке или против. Оставшаяся нить шла вдоль каждой из этих прямых соответственно, когда две другие нити порвались. «Верхняя» прямая соответствует вращению по часовой стрелке, а «нижняя» — против часовой стрелки. Поэтому угол следует измерять по часовой стрелке и против часовой стрелки соответственно. Наиболее подходящим оказывается случай вращения против часовой стрелки.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.