Бокал из сферы

Разрежьте сферу горизонтальными плоскостями на тонкие пояса одинаковой высоты. Чему пропорциональна масса пояса, если поверхность однородна?

Центр тяжести бокала лежит на высоте \(R\) над основанием ножки (на половине высоты бокала) и от \(h\) не зависит.

Что происходит. Бокал склеен из двух кусков одной сферы: верхняя часть — сфера без шапочки, ножка — та же шапочка, перевёрнутая и поставленная вершиной на дно чаши. Главная идея: масса тонкого пояса сферы определяется только его высотой, поэтому у шарового пояса и у шапочки масса распределена по высоте равномерно, и центр тяжести каждой части лежит на середине её высоты.

Обозначения. Ось \(y\) направим вверх, начало — на опоре, в плоскости основания ножки. \(\sigma\) — масса единицы площади поверхности. Высота ножки \(h\) равна высоте отрезанной шапочки: ножка и есть эта шапочка.

1. Масса тонкого пояса сферы. Рассечём сферу горизонтальными плоскостями на пояса высоты \(\Delta h\ll R\). Для пояса, нормаль которого составляет угол \(\alpha\) с вертикалью, радиус его окружности \(r=R\sin\alpha\), а длина образующей — отрезка поверхности между плоскостями — \(l=\Delta h/\sin\alpha\). Тогда площадь пояса и его масса \[S=2\pi r\,l=2\pi R\sin\alpha\cdot\frac{\Delta h}{\sin\alpha}=2\pi R\,\Delta h,\qquad \Delta m=2\pi R\sigma\,\Delta h .\]

Угол \(\alpha\) сократился: масса пояса зависит только от его высоты \(\Delta h\), а не от того, где он расположен. Значит, у любой части сферы, ограниченной горизонтальными плоскостями, масса пропорциональна её высоте.

2. Две части бокала. Сфера без шапочки занимает по высоте участок от \(y=h\) (нижняя точка сферы лежит на вершине ножки) до \(y=2R\): длина участка \(2R-h\), его масса и положение центра тяжести (середина участка) \[m_1=2\pi R\sigma\,(2R-h),\qquad y_1=h+\frac{2R-h}{2}=R+\frac h2 .\] Ножка занимает участок от \(y=0\) до \(y=h\): \[m_2=2\pi R\sigma\,h,\qquad y_2=\frac h2 .\]

3. Центр тяжести системы. Центр тяжести системы двух тел — взвешенное по массам среднее их центров: \[y_C=\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}=\frac{(2R-h)\left(R+\dfrac h2\right)+h\cdot\dfrac h2}{2R}=\frac{2R^2+Rh-Rh-\dfrac{h^2}{2}+\dfrac{h^2}{2}}{2R}=R .\] Обратите внимание: высота ножки \(h\) выпала из ответа, потому что масса ножки (то есть шапочки) компенсирует сдвиг центра тяжести чаши. Бокал вообще имеет высоту \(2R\) при любом \(h\): центр тяжести — на её половине.

Ответ: \(y_C=R\) от основания ножки.

Проверка. При \(h\to0\) ножки нет, шапочка нулевая, остаётся целая сфера: центр тяжести в центре шара, на высоте \(R\). При \(h\to 2R\) чаши нет, а ножка — целая сфера, поставленная на землю, и снова \(R\). В промежуточных случаях, как показала выкладка, результат тот же, а размерность (длина) очевидна.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.