Пассажирский и товарный

Поезда не столкнутся, если расстояние между ними не обратится в нуль. Удобно перейти в систему отсчёта товарного поезда.

Недостаточно: поезда столкнутся через \(15\) с после начала торможения, на расстоянии \(315\) м от места, где началось торможение (скорость сближения в этот момент \(3\) м/с). Чтобы избежать столкновения, нужно ускорение не меньше \(1{,}225\) м/с\(^2\) по модулю.

Что происходит. Пассажирский поезд догоняет товарный, но тормозит. Столкновения не будет, если пассажирский успеет сравнять свою скорость со скоростью товарного, пока расстояние между ними ещё положительно. Удобнее всего считать расстояние между поездами: оно сначала уменьшается, а потом, возможно, снова растёт.

Обозначения. Переведём скорости в м/с: \(v_1=108\text{ км/ч}=30\text{ м/с}\), \(v_2=32{,}4\text{ км/ч}=9\text{ м/с}\). Ось \(x\) направим по ходу поездов, начало — в точке, где пассажирский поезд начал тормозить (в этот момент \(t=0\)). Поезда считаем материальными точками, ускорение пассажирского — \(a=-1{,}2\text{ м/с}^2\) вдоль оси.

1. Закон движения каждого поезда. Пассажирский движется равноускоренно, товарный — равномерно: \[x_1(t)=v_1t+\frac{at^2}{2}=30t-0{,}6t^2,\qquad x_2(t)=s_0+v_2t=180+9t .\] Формула для \(x_1\) верна, пока поезд не остановился и не поехал назад, то есть при \(t\le v_1/|a|=25\) с; нам этого достаточно.

2. Встреча. Поезда столкнутся, если для какого-то \(t\) окажется \(x_1=x_2\): \[30t-0{,}6t^2=180+9t\ \Rightarrow\ t^2-35t+300=0 .\] Дискриминант \(35^2-4\cdot300=25>0\): уравнение имеет корни \(t'=15\) с и \(t''=20\) с — графики координат пересекаются.

Столкновение происходит в первый момент, когда координаты сравнялись, то есть при \(t'=15\) с. Координата места столкновения: \(x_1(15)=30\cdot15-0{,}6\cdot225=315\) м. Скорость пассажирского в этот момент \(30-1{,}2\cdot15=12\) м/с, скорость товарного \(9\) м/с, так что пассажирский ударяет товарный со скоростью сближения \(3\) м/с.

Обратите внимание: корень \(t''=20\) с физического смысла не имеет — к этому времени поезда уже столкнулись, и дальше эти формулы не применимы. Он лишь показывает, что парабола пересекает прямую дважды.

3. Второй способ: расстояние между поездами. В системе отсчёта товарного поезда пассажирский приближается со скоростью \(u_0=v_1-v_2=21\) м/с и тормозит с ускорением \(1{,}2\) м/с\(^2\). Расстояние между поездами \[s(t)=s_0-u_0t+\frac{|a|t^2}{2}=180-21t+0{,}6t^2 .\] Оно минимально, когда скорость сближения обращается в нуль: \(u_0-|a|t=0\), то есть при \(t=17{,}5\) с (в этот момент скорости поездов сравниваются). Минимальное значение \[s_{\min}=180-\frac{u_0^2}{2|a|}=180-\frac{441}{2{,}4}=180-183{,}75=-3{,}75\text{ м}<0 .\] Отрицательное расстояние означает, что пассажирский поезд успел бы «въехать» в товарный на \(3{,}75\) м: столкновение неизбежно.

4. Какое ускорение достаточно. Столкновения нет, если \(s_{\min}\ge0\), то есть \[\frac{u_0^2}{2|a|}\le s_0\ \Rightarrow\ |a|\ge\frac{u_0^2}{2s_0}=\frac{21^2}{2\cdot180}=1{,}225\text{ м/с}^2 .\] На рисунке бирюзовая кривая — этот предельный случай: расстояние лишь касается нуля.

Ответ: ускорения \(a=-1{,}2\text{ м/с}^2\) недостаточно, поезда столкнутся через \(15\) с на расстоянии \(315\) м от места начала торможения.

Проверка. Размерность: \(u_0^2/(2|a|)\) — \(\text{м}^2/\text{с}^2\) делить на \(\text{м}/\text{с}^2\) даёт метры, как и \(s_0\). Оба способа дали один результат: для \(a=-1{,}2\) тормозной путь относительно товарного \(183{,}75\) м больше \(180\) м; тот же вывод даёт и \(t'=15\) с (при \(t<17{,}5\) с расстояние ещё убывает, и нуля оно достигает раньше минимума). Предел: при \(|a|=1{,}225\) дискриминант уравнения \(x_1=x_2\) равен нулю, и корень один — графики касаются.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.