Вращающееся резиновое кольцо

Выделите маленький участок кольца: на него действуют две силы натяжения по касательным, и их равнодействующая сообщает участку центростремительное ускорение. Растяжение кольца определяется длиной его окружности.

\(R=\dfrac{l}{2\pi}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{m\omega^2}{4\pi^2k}}=\dfrac{2\pi kl}{4\pi^2k-m\omega^2}\) при \(\omega<2\pi\sqrt{k/m}\).

Что происходит. Покоящееся кольцо имеет радиус \(l/2\pi\). Когда оно вращается, каждый участок движется по окружности, и для этого нужна сила, направленная к центру. Её создаёт натяжение жгута: кольцо растягивается, пока сила упругости не обеспечит нужное ускорение. Главная идея: записать второй закон Ньютона для маленького участка кольца в проекции на радиус.

Обозначения. \(R\) — радиус вращающегося кольца (искомый), \(T\) — сила натяжения жгута, \(\Delta m\) — масса выбранного участка, \(\alpha\) — центральный угол этого участка. Кольцо вращается в горизонтальной плоскости, вес участка уравновешен опорой и в горизонтальное уравнение не входит; силой тяжести и трением пренебрегаем.

1. Натяжение жгута. Длина вращающегося кольца \(L=2\pi R\). Коэффициент жесткости жгута длины \(l\) равен \(k\), значит, закон Гука для всего жгута записывается как \(T=k\,\Delta L\), где \(\Delta L=L-l\) — его удлинение. Жгут однородный, поэтому натяжение вдоль кольца одно и то же: \[T=k\,(2\pi R-l).\]

2. Масса участка. Участку с центральным углом \(\alpha\) принадлежит доля \(\alpha/2\pi\) длины кольца, а масса жгута при растяжении не меняется, так что \[\Delta m=m\,\frac{\alpha}{2\pi}.\]

3. Второй закон Ньютона для участка. Запишем его в проекции на радиус, направленный к центру. На участок действуют две силы натяжения \(T\) по касательным к кольцу на его концах (рисунок). Каждая составляет с радиусом, проведённым в середину участка, угол \(\dfrac{\pi-\alpha}{2}\), а проекция на радиус равна \(T\sin\dfrac\alpha2\). Ускорение участка \(\omega^2R\) направлено к центру: \[2T\sin\frac\alpha2=\Delta m\,\omega^2R .\]

Участок мал, \(\alpha\ll1\), поэтому \(\sin\dfrac\alpha2\approx\dfrac\alpha2\), и уравнение приобретает вид \[T\alpha=m\,\frac{\alpha}{2\pi}\,\omega^2R\ \Rightarrow\ T=\frac{m\omega^2R}{2\pi}.\] Угол \(\alpha\) сократился: результат не зависит от размера выбранного участка.

4. Соберём ответ. Приравняем два выражения для \(T\): \[k\,(2\pi R-l)=\frac{m\omega^2R}{2\pi}\ \Rightarrow\ R\left(2\pi k-\frac{m\omega^2}{2\pi}\right)=kl .\] Отсюда \[R=\frac{kl}{2\pi k-\dfrac{m\omega^2}{2\pi}}=\frac{l}{2\pi}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{m\omega^2}{4\pi^2k}}=\frac{2\pi kl}{4\pi^2k-m\omega^2}.\] Обратите внимание: формула имеет смысл только при \(4\pi^2k>m\omega^2\), то есть при \(\omega<\omega_0=2\pi\sqrt{k/m}\). При \(\omega\ge\omega_0\) уравнение решения не имеет: натяжения жгута не хватает, чтобы удержать кольцо на любом радиусе, и оно разрывается.

Проверка. Размерность: \(m\omega^2/k\) — это \(\dfrac{\text{кг}/\text{с}^2}{\text{Н}/\text{м}}=\dfrac{\text{кг}/\text{с}^2}{\text{кг}/\text{с}^2}\), безразмерная величина, как и должно быть в скобке. Предел: при \(\omega\to0\) получаем \(R=l/2\pi\), радиус нерастянутого кольца; при малом \(\omega\) радиус растёт, как и ожидается; при \(\omega=\omega_0/2\) он равен \(\dfrac43\cdot\dfrac{l}{2\pi}\) (точка на графике). Второй способ — минимум энергии во вращающейся системе: энергия деформации \(\dfrac{k(2\pi R-l)^2}{2}\) плюс потенциальная энергия центробежной силы \(-\dfrac{m\omega^2R^2}{2}\) имеет экстремум при \(2\pi k(2\pi R-l)-m\omega^2R=0\), это то же уравнение. Физический смысл: чем быстрее вращение, тем сильнее кольцо растягивается, а при критической угловой скорости \(\omega_0\) радиус неограниченно растёт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.