Мост с амперметром

Идеальный амперметр — проводник без сопротивления, идеальный вольтметр тока не берёт. Найдите общее сопротивление цепи и подберите, как расставить резисторы, чтобы оно получилось таким.

\(1\) А или \(2\) А: условие допускает два способа расстановки резисторов, и в каждом ток через \(A_2\) свой.

Что происходит. Вольтметр показывает напряжение на всей цепи, амперметр \(A_1\) — её полный ток, поэтому общее сопротивление известно сразу. Амперметр \(A_2\) идеальный: его сопротивление нуль, значит, точки \(a\) и \(b\), к которым он подключён, имеют один потенциал и их можно слить в одну. Тогда два верхних резистора оказываются параллельными, два нижних — тоже, а две пары — последовательными. Главная идея: сопротивление такой цепи позволяет угадать, какие резисторы стоят рядом.

Обозначения. Верхние резисторы — \(R_1\) (слева) и \(R_2\) (справа), нижние — \(R_3\) (слева) и \(R_4\) (справа). Токи направим вниз от верхнего вывода к нижнему.

1. Общее сопротивление. Закон Ома для всей цепи: идеальный вольтметр показывает напряжение \(U=10\) В на всей цепи, идеальный \(A_1\) — общий ток \(I=5\) А: \[R=\frac UI=\frac{10}{5}=2\text{ ом}.\]

2. Схема без амперметра \(A_2\). Так как сопротивление идеального амперметра нуль, точки \(a\) и \(b\) соединены проводом без сопротивления. Тогда \[R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}+\frac{R_3R_4}{R_3+R_4}=2\text{ ом}.\]

3. Как разложить 1, 2, 3 и 4 ом по парам. Резисторы можно разбить на две пары тремя способами: \[\{1,2\}\,\{3,4\}:\ \tfrac23+\tfrac{12}{7}\approx2{,}38;\qquad \{1,3\}\,\{2,4\}:\ \tfrac34+\tfrac43\approx2{,}08;\qquad \{1,4\}\,\{2,3\}:\ \tfrac45+\tfrac65=2 .\] Нужные \(2\) ом дают только пары \(\{1,4\}\) и \(\{2,3\}\). Одна пара стоит сверху, другая снизу, а внутри пары резисторы можно переставить.

4. Токи в парах. Через параллельную пару идёт весь ток цепи \(5\) А, и он делится обратно пропорционально сопротивлениям (напряжение на обоих резисторах пары одно). Для пары \(\{1,4\}\): \(4\) А через \(1\) ом и \(1\) А через \(4\) ом (напряжение \(4\) В). Для пары \(\{2,3\}\): \(3\) А через \(2\) ом и \(2\) А через \(3\) ом (напряжение \(6\) В). Сумма напряжений \(4+6=10\) В — как показывает вольтметр.

5. Ток через амперметр. Запишем первое правило Кирхгофа — сумма токов в узле равна нулю — для узла \(a\), где сходятся левые резисторы и амперметр: ток через \(A_2\) равен разности токов, текущих по верхнему левому и нижнему левому резисторам. Рассмотрим два расположения; остальные получаются зеркальным отражением и дают те же значения.

Если слева сверху стоят \(1\) ом, справа сверху \(4\) ом, слева снизу \(2\) ом и справа снизу \(3\) ом, то в узел \(a\) входит \(4\) А, а вниз уходит \(3\) А: через амперметр течёт \(4-3=1\) А.

Если же снизу поменять резисторы местами (\(3\) ом слева и \(2\) ом справа), вниз из узла \(a\) уходит \(2\) А, и через амперметр течёт \(4-2=2\) А.

Обратите внимание: в условии не сказано, какой резистор где стоит, поэтому задача имеет два ответа; полный перебор разности токов в двух левых резисторах по всем расстановкам даёт только значения \(1\) А и \(2\) А, направление тока зависит от расстановки.

Ответ: \(1\) А или \(2\) А.

Проверка. Узел \(b\) в первом случае: в него входят \(1\) А сверху и \(1\) А через амперметр, а вниз по резистору \(3\) ом уходит \(2\) А — ток сохраняется; во втором случае вниз уходит \(1+2=3\) А, и это совпадает с током через резистор \(2\) ом (\(6\) В \(/\,2\) ом \(=3\) А). Мощности: \(UI=50\) Вт, а \(I^2R\) по резисторам первого случая \(16+4+18+12=50\) Вт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.