Конусы

В п. i изображение формируют вертикальные лучи; в п. iii используйте сохранение энергии и момента импульса относительно оси; в п. iv разверните конус на плоскость — траектория станет прямой.

1) \(2\theta=2\operatorname{arctg}\sqrt{1-2r}\approx71^\circ\) (при \(r=0{,}25\)), где \(r\) — измеренное отношение;  2) \(v=\sqrt{Rg\operatorname{ctg}\theta}\);  3) \(R_f=\dfrac{1+\sqrt{33}}{16}R\approx0{,}42R\);  4) \(\Delta\varphi=\dfrac{\pi}{2\sin\theta}\) рад \(=\dfrac{90^\circ}{\sin\theta}\).

i) Рассмотрим любую крайнюю точку красного сердца и её отражение. Это, вероятно, проще и точнее всего для точек, наиболее удалённых от центра картинки, но подошла бы любая краевая точка красного сердца. Пусть \(\theta\) — половинный угол при вершине конуса. Пусть \(r\) — измеренное отношение (углового) расстояния от воспринимаемого изображения до зеркала к (угловому) расстоянию от воспринимаемого изображения до исходной точки. Тогда \(\dfrac{\operatorname{tg}\theta}{\operatorname{tg}2\theta}=r\), поэтому \(\theta=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{2(1-r)}}\), или, что то же, \(\operatorname{arctg}\sqrt{1-2r}\). Разумеется, угол при вершине равен \(2\theta\), то есть вдвое больше найденного.

Для измеренного значения \(r=0{,}25\) получаем ответ \(2\theta\approx1{,}22\) радиана, то есть \(71^\circ\).

ii) Вклад силы тяжести вдоль образующей конуса должен быть равен вкладу центробежной силы. Поэтому \(mg\cos\theta=\dfrac{mv^2}{R}\sin\theta\), откуда \(v=\sqrt{Rg\operatorname{ctg}\theta}\).

iii) Энергия шайбы — сумма её потенциальной энергии в поле тяжести и кинетической энергии, поэтому для максимального вертикального смещения \(h_f\) и скорости \(v_f\) в этот момент имеем \(E=\dfrac{v^2}{8}+gh_f=\dfrac{v_f^2}{2}\). Из сохранения момента импульса между начальным моментом и моментом минимального расстояния до оси, когда скорость горизонтальна, получаем \(\dfrac v2R=v_fR_f\), где \(R_f\) — минимальное расстояние до оси конуса. Связываем \(h_f\) и \(R_f\) через \(\dfrac{R-R_f}{h_f}=\operatorname{tg}\theta\). Тогда \(h_f=(R-R_f)\operatorname{ctg}\theta\). Подставляя \(h_f\) и \(v_f\) в закон сохранения энергии, получаем \(\dfrac{v^2}{8}=\dfrac{v^2R^2}{8R_f^2}-g(R-R_f)\operatorname{ctg}\theta\). Подставляя \(v^2=Rg\operatorname{ctg}\theta\) и решая кубическое уравнение относительно \(R_f\), \(8R_f^3-9RR_f^2+R^3=0\), получаем корни \(R\), \(\dfrac{1+\sqrt{33}}{16}R\) и некоторое отрицательное значение. Наш минимальный радиус, таким образом, равен \(\dfrac{1+\sqrt{33}}{16}R\approx0{,}42R\).

iv) Развернём конус и повторим его рисунок, как на рисунке выше.

Подписи на рисунке: Puck at \(t=0\) — шайба при \(t=0\); Puck trajectory — траектория шайбы; Asymptotic direction relative to vertex — асимптотическое направление относительно вершины; Cone vertex — вершина конуса.

Заметим, что угол при вершине и угол развёртки конуса связаны через площадь конуса \(\pi L^2\sin\theta=\varphi L^2\), и поэтому \(\varphi=\pi\sin\theta\). Траектория шайбы — прямая линия, начинающаяся перпендикулярно краю нашей развёртки конуса. Радиус-вектор повернётся на нашем рисунке на \(90^\circ=\pi/2\) за бесконечное время. Чтобы связать поворот на нашем изображении конуса с поворотом радиус-вектора, напомним, что поворот радиус-вектора на \(360^\circ=2\pi\) соответствует повороту на \(2\varphi\) на нашем рисунке. Поэтому число радиан поворота будет \(\dfrac\pi2\cdot\dfrac{2\pi}{2\pi\sin\theta}=\dfrac{\pi}{2\sin\theta}\).

Решение 2 (Eppu Leinonen). Пусть \(\phi\) — полный угол поворота радиус-вектора, а \(r\) — его длина. Скорость, связанная с \(\dot\phi\), равна \(r\dot\phi\), а скорость, связанная с \(\dot r\), равна \(\dot r\csc\theta\), проекция которой на радиальную ось равна \(\dot r\). Поэтому закон сохранения энергии гласит \(r^2\dot\phi^2+\dot r^2\csc^2\theta=v^2\). Также сохраняется проекция момента импульса на ось симметрии, и поэтому \(r^2\dot\phi=Rv\). Отсюда находим \(\dot\phi\) и подставляем в уравнение сохранения энергии, получая \(\dot r=v\sqrt{1-(R/r)^2}\,\sin\theta\). Интегрируя обе части от момента \(t=0\) до момента \(t=t\) (\(r(0)=R\) и \(r(t)=r\)), получаем \(r^2=R^2+v^2t^2\sin^2\theta\). Тогда \(\dot\phi=\dfrac{Rv}{R^2+v^2t^2\sin^2\theta}\), что можно проинтегрировать от \(t=0\) до \(t=\infty\), заметив, что \(\operatorname{arctg}'x=1/(1+x^2)\); это даёт \(\phi_\infty=\dfrac{\pi}{2\sin\theta}\).

Решение 3 (Eppu Leinonen). Разложим скорость на две составляющие: скорость от изменения угла радиус-вектора \(\phi\), \(v_\perp\), и скорость вверх вдоль конуса \(v_\parallel\). В цилиндрических координатах радиальный закон силы теперь гласит \(N\cos\theta=mv_\perp\dot\phi-m\dot v_\parallel\sin\theta\), а вертикальный закон силы — \(N\sin\theta=mv_\parallel\cos\theta\). Отсюда находим \(\dot\phi=\dot v_\parallel/(v_\perp\sin\theta)\). Из сохранения энергии \(v_\perp=\sqrt{v^2-v_\parallel^2}\), и поэтому \(\phi_\infty=\dfrac{1}{\sin\theta}\displaystyle\int_0^v\frac{dv_\parallel}{\sqrt{v^2-v_\parallel^2}}=\dfrac{\pi}{2\sin\theta}\). Интеграл легко вычисляется, если заметить, что он представляет четверть площади единичного круга.

Решение 4 (Aleksi Kononen, Eppu Leinonen). Разложим скорость на две составляющие: скорость от изменения угла радиус-вектора \(\phi\), \(v_\perp\), и скорость вверх вдоль конуса \(v_\parallel\). Перейдём в систему отсчёта, вращающуюся вместе с шайбой. В этой системе на шайбу будут действовать три силы инерции: центробежная, Кориолиса и Эйлера. И сила Кориолиса, и сила Эйлера направлены перпендикулярно \(v_\parallel\) и касательно к конусу. Однако так как система вращается вместе с шайбой, \(\dot v'_\perp=0\) в этой системе, и поэтому силы Кориолиса и Эйлера должны компенсироваться. Это значит, что радиальная составляющая нормальной силы равна \(N_r=mv_\perp^2/r\). Поэтому в инерциальной системе получаем \(\dot v_\parallel=\dfrac{v_\perp^2}{r\sin\theta}\). С другой стороны, \(\dot\phi=v_\perp/r=\dfrac{1}{\sin\theta}\,\dot v_\parallel/v_\perp\). Из сохранения энергии \(v_\perp=\sqrt{v^2-v_\parallel^2}\), и поэтому \(\phi_\infty=\dfrac{1}{\sin\theta}\displaystyle\int_0^v\frac{dv_\parallel}{\sqrt{v^2-v_\parallel^2}}=\dfrac{\pi}{2\sin\theta}\). Интеграл легко вычисляется, если заметить, что он представляет четверть площади единичного круга.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.