Волны

Длинный прямой фронт означает равенство фазовой и групповой скоростей, \(d\omega/dk=\omega/k\); угол фронта к скорости объекта даёт \(\omega/k=U\sin\mu\).

1) \(\alpha=1\), \(\beta=3\);  2) \(\sigma=\dfrac{\rho U^4\sin^4\mu}{4g}\approx60\ \text{г}\cdot\text{с}^{-2}\) (при измеренном \(\mu\approx21{,}5^\circ\)).

i) Размерности \(gk^\alpha\) и \(\dfrac\sigma\rho k^\beta\) равны с\(^{-2}\), а размерность \(k\) — м\(^{-1}\). Размерность поверхностного натяжения — кг/с\(^2\). Поэтому \(\alpha=1\) и \(\beta=3\).

ii) Фазовая и групповая скорости кильватерного следа равны, то есть \(\dfrac{d\omega}{dk}=\dfrac\omega k\). Отношение \(\dfrac\omega k\) можно найти из угла Маха, образуемого волновым фронтом на картинке: \(\sin\mu=\dfrac{\omega}{Uk}\). Дифференцируя закон дисперсии, \[2\omega\frac{d\omega}{dk}=\left(g+\frac{3\sigma}{\rho}k^2\right)\quad\Longrightarrow\quad2\omega^2=k\left(g+\frac{3\sigma}{\rho}k^2\right).\] Подставляя наш закон дисперсии, получаем \(g=\dfrac\sigma\rho k^2\) и \(\omega^2=2gk\). Подставляя \(g^{1/2}=\left(\dfrac\sigma\rho\right)^{1/2}k\), приходим к \(\dfrac{\omega^2}{k^2}=2\left(\dfrac{g\sigma}{\rho}\right)^{1/2}\). Следовательно, можно найти \[\sigma=\frac{\rho U^4\sin^4\mu}{4g}\approx60\ \text{г}\cdot\text{с}^{-2}\] при измеренном \(\mu\approx21{,}5^\circ\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.