Полное затмение

Тень Луны движется по Земле почти со скоростью самой Луны на орбите; вращение Земли даёт относительную скорость, которую нужно сложить векторно; в п. vi вероятность равна доле площади Земли, накрытой полосой затмения.

1) \(\approx3{,}46\) ч;  2) \(\approx128^\circ\);  3) \(\approx180\) км;  4) \(\approx4{,}6\) мин;  5) \(\approx3{,}8\) мин;  6) \(\approx500\) лет.

i) Так как расстояние от Луны до Солнца гораздо больше расстояния от Луны до Земли, скорость тени Луны на Земле можно считать равной скорости самой Луны. Скорость Луны — отношение длины её орбиты к периоду: \[v_m=\frac{2\pi R_m}{T_m}=1{,}02\ \text{км/с}.\] Так как в пик затмения центры Земли, Луны и Солнца лежат на одной прямой, тень Луны при взгляде с торца движется вдоль диаметра Земли. Поэтому тень проходит расстояние \(2r_e\), пока она ещё видна на Земле, и затмение будет наблюдаемо в течение времени \[T_{\text{зат}}=\frac{2r_e}{v_m}=\frac{r_e}{\pi R_m/T_m}\approx12{,}5\times10^{3}\ \text{с}=3{,}46\ \text{ч}.\]

ii) Без вращения Земли тень Луны охватила бы около \(\pi\) радиан. За время \(T_{\text{зат}}\) Земля поворачивается на \(2\pi\,T_{\text{зат}}/T_0\) радиан. Вращение Земли идёт «в ту же сторону», что и движение тени Луны, поэтому полный охват затмения по долготе равен \(|180^\circ(1-2T_{\text{зат}}/T_0)|\approx128^\circ\).

iii) Вблизи окончания затмения вращение Земли перемещает поверхность под тенью Луны почти перпендикулярно скорости тени Луны. Поэтому ширина тени Луны равна расстоянию, пройденному тенью Луны за время полной фазы в этой точке: \[w_\lambda=v_mt_0=2\pi R_m\frac{t_0}{T_m}\approx123\ \text{км}.\] На экваторе поверхность Земли ближе к Луне на \(r_e\), чем в точке, где затмение заканчивается, что дополнительно увеличивает площадь полной тени. Так как Луна занимает на небе угол примерно \(\alpha=2r_m/R_m\) радиан, то при приближении к Луне на \(r_e\) ширина её тени увеличится примерно на \(\alpha r_e\approx57{,}7\) км. Таким образом, полная ширина тени вблизи экватора около \(w_{eq}=v_mt_0+\alpha r_e=180\) км.

iv) Пик затмения приходится на экватор — во-первых, потому что там тень Луны наибольшая из-за близости к Луне, а во-вторых, потому что вращение Земли там самое быстрое, а вращение Земли удлиняет затмение. На экваторе поверхность Земли движется со скоростью \(v_e=2\pi r_e/T_0=0{,}46\) км/с. Угол между скоростью поверхности Земли на экваторе и скоростью тени Луны равен \(\lambda\), поэтому относительную скорость тени Луны можно получить по теореме косинусов: \[v_{\text{отн}}=\sqrt{v_m^2+v_e^2-2v_mv_e\cos\lambda}=0{,}654\ \text{км/с}.\] Следовательно, время, в течение которого затмение наблюдается в пике, \(t_{eq}=w_{eq}/v_{\text{отн}}=276\) с \(=4{,}6\) мин.

v) Так как \(a\ll r_e\), относительную скорость тени Луны и Земли можно считать такой же, как в предыдущем пункте. Полная тень Луны на Земле на экваторе — круг, и расстояние, которое тень Луны должна пройти за время полной фазы в точке, смещённой на \(a\), по теореме Пифагора равно \(2\left(w_{eq}^2/4-a^2\right)^{1/2}\). Тогда затмение наблюдается в течение \[\frac{1}{v_{\text{отн}}}\sqrt{w_{eq}^2-4a^2}=230\ \text{с}=3{,}8\ \text{мин}.\]

vi) При наших предположениях типичная ширина затмения равна \((w_\lambda+w_{eq})/4\), а типичная длина на поверхности Земли равна \(\pi r_e\). Поэтому типичное затмение покрывает площадь, равную произведению двух указанных величин. Отсюда вероятность того, что затмение будет заметно из произвольной данной точки Земли, равна площади, охваченной затмением, \(\pi r_e(w_\lambda+w_{eq})/4\), делённой на площадь поверхности Земли \(4\pi r_e^2\). Тогда ожидаемое число затмений до того, как одно из них накроет данную произвольную точку, равно обратной величине этой вероятности. Так как затмения происходят в среднем раз в 18 месяцев, ожидаемое время этого события \[\frac{16\,r_e}{w_\lambda+w_{eq}}\cdot18\ \text{месяцев}\approx500\ \text{лет}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.