Задачи › Планеты и спутники Солнечной системы

Затмение спутника Юпитера

  1. Затмение спутника Юпитера

    APhO 1999/00, 11 кл.
    6/10

    Датский астроном О. Рёмер изучал затмения спутника Юпитера Ио задолго до того, как учёные научились точно измерять скорость света. Он смог определить скорость света по наблюдаемым периодам обращения Ио. Рёмер наблюдал время между последовательными появлениями Ио из-за тени Юпитера.

    На рисунке показаны орбита Земли \(E\) вокруг Солнца \(S\) и орбита Ио (он обозначен за \(M\)) вокруг планеты Юпитер. Длительная серия наблюдений затмений позволила точно определить период обращения \(T_0=42~ч~28~мин~16~с\) спутника \(M\).

    Рисунок

    Орбита Земли \(E\) вокруг Солнца \(S\) и орбита спутника \(M\) вокруг Юпитера \(J\). Земля, Юпитер и Ио двигаются против часовой стрелки.

    Среднее расстояние от Земли \(E\) до Солнца \(R_E=149.6 \cdot 10^6~км\). Период обращения Земли \(T_E=365~суток\), Юпитера — \(T_J=11.86~лет\). Расстояние от спутника \(M\) до планеты Юпитер \(R_M=422 \cdot 10^3~км\)

    A1. Найдите радиус орбиты \(R_J\) Юпитера. Найдите отношение массы Юпитера \(M_J\) к массе Солнца \(M_S\).

    A2. Спутник \(M\), вращаясь вокруг Юпитера, периодически входит и выходит из его тени. Выразите период \(T_\text{real}\) между последовательными выходами спутника из тени Юпитера через \(T_J\) и \(T_0\).

    A3. Перейдите в новую систему отсчёта (\(SJ\)), в которой Юпитер покоится относительно Солнца. Определите относительную угловую скорость \(\omega\) Земли в системе отсчёта \(SJ\). Вычислите скорость Земли в системе отсчета \(SJ\).

    Из-за конечности скорости света наблюдаемый с Земли период \(T_\text{obs}\) между последовательными выходами \(M\) из тени отличается от \(T_\text{real}\). Yаблюдатель зафиксировал момент, когда \(M\) начал выходить из тени, в момент времени \(t\), находясь в положении \(\theta\), а следующий выход из тени в момент времени \(t+T_\text{obs}\) в положении \(\theta + \Delta \theta\). Будем считать, что \(\theta=0\) для \(t=0\).

    A4. Выведите расстояние от Юпитера до Земли \(d\) как функцию времени, и упростите его с помощью приближений.

    A5. Получите период \(T_\text{obs}\) как функцию времени \(t\). Постройте качественный график \(T_\text{obs}\) как функции времени \(t\). Найдите положения Земли, при которых наблюдались максимальный период, минимальный период и истинный период обращения спутника \(M\).

    Разность между максимальным и минимальным значениями \(T_\text{obs}\) составляет \(\Delta T=30~с\).

    A6. Оцените скорость света по предоставленным данным.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    A1: \[R_J = R_E \left( \frac{T_J}{T_E} \right)^{2/3}=778.0\cdot 10^6~\text{km} \quad \frac{M_J}{M_S}= \frac{R_M^3}{R_E^3} \frac{T_E^2}{T_0^2} = 9.54 \cdot 10^{-4}\];  A2: \[T_\text{real} = \frac{T_J T_0}{T_J-T_0}\];  A3: \[\omega = 2 \pi \frac{T_J-T_E}{T_J T_E} , \quad v_E = 2 \pi R_E \frac{T_J T_E}{T_j - T_E}\];  A4: \[d =R_J - R_E \cos \omega t\]

    Решение

    A1. Запишем III закон Кеплера для Юпитера и Земли:

    \[\left(\frac{R_J}{R_E}\right)^3 = \left(\frac{T_J}{T_E} \right)^2 \quad \Rightarrow \quad R_J = R_E \left( \frac{T_J}{T_E} \right)^{2/3}=778.0\cdot 10^6~\text{km}\]Теперь запишем II закон Ньютона \(\omega^2 R = GM/R^2\) для Земли и для Ио:

    \[\frac{4 \pi^2}{T_E^2} = \frac{GM_S}{R_E^3}, \quad \frac{4 \pi^2}{T_0^2} = \frac{GM_J}{R_M^3} \quad \Rightarrow \quad \frac{M_J}{M_S} = \frac{R_M^3}{R_E^3} \frac{T_E^2}{T_0^2} = 9.54 \cdot 10^{-4}\]

    Ответ:

    \[R_J = R_E \left( \frac{T_J}{T_E} \right)^{2/3}=778.0\cdot 10^6~\text{km} \quad \frac{M_J}{M_S}= \frac{R_M^3}{R_E^3} \frac{T_E^2}{T_0^2} = 9.54 \cdot 10^{-4}\]

    A2. За время \(T_\text{real}\) Юпитер поворачивается по своей орбите на малый угол \(2 \pi T_\text{real}/T_J\). При этом за время \(T_\text{real}\) спутник должен повернуться на \(2\pi\) плюс этот малый угол, т.е.

    \[2 \pi \frac{T_\text{real}}{T_0} = 2\pi + 2 \pi \frac{T_\text{real}}{T_J}\]

    Ответ:

    \[T_\text{real} = \frac{T_J T_0}{T_J-T_0}\]

    A3. Угловая скорость системы отсчета \(\omega_{SJ} = 2 \pi / T_J\). Поэтому угловая скорость Земли

    \[\omega = 2 \pi / T_E - \omega_{SJ} = 2\pi \left( \frac{1}{T_E} - \frac{1}{T_J} \right) = 2\pi \frac{T_J T_E}{T_J-T_E}\]При этом скорость Земли \(v_E = R_E \omega\)

    Ответ:

    \[\omega = 2 \pi \frac{T_J-T_E}{T_J T_E} , \quad v_E = 2 \pi R_E \frac{T_J T_E}{T_j - T_E}\]

    A4. Из геометрии

    \[d^2 = R_E^2 \sin^2 \theta + (R_J - R_E \cos \theta)^2 = R_J^2 + R_E^2 - 2 R_J R_E \cos \theta\]\[d = R_J \left( 1 - \frac{R_E}{R_J} \cos \theta \right)\]

    Ответ:

    \[d =R_J - R_E \cos \omega t\]

    A5. Время, насколько запаздывает свет от выхода из затмения равно \(d/c\), поэтому для определения \(T_\text{obs}\) нужно понять, насколько поменялось \(d\) за период обращения:

    \[T_\text{obs} = T_0 + \frac{\dot{d} T_0}{c} = T_0 \left(1 + \frac{\omega R_E}{c} \sin \omega t \right)\]

    Ответ:

    \[T_\text{obs} = T_0 \left(1 + \frac{\omega R_E}{c} \sin \omega t \right)\]Максимальный период наблюдается в верхней точке касания (\(\theta \approx + \pi/2\)), минимальный в нижней (\(\theta \approx - \pi/2\)), истинный, когда Солнце, Земля и Юпитер на одной прямой (\(\theta = 0 ,\pi\))

    Рисунок

    A6. Исходя из зависимости

    \[\Delta T = 2 T_0 \frac{\omega R_E}{c}, \quad c = 2 \omega R_E \frac{T_0}{\Delta T}\]

    Ответ:

    \[c = 2 \omega R_E \frac{T_0}{\Delta T} = 3.04 \cdot 10^8~\text{m}/\text{s}\]

    Перевод: pho.rs.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх