Регистрация $\alpha$-частиц

Вся энергия частицы уходит на образование пар ионов по 35 эВ, и заряд пар одного знака собирается на ёмкость камеры. Ток насыщения — заряд одной частицы, умноженный на число частиц в секунду. Поле у проволоки в цилиндрической камере находится по теореме Гаусса, а пробой наступает там, где поле максимально.

a) \(E_\alpha\approx6{,}69\) МэВ, \(N\approx1{,}9\cdot10^{5}\) пар, \(V\approx0{,}68\) мВ;  b) \(A_{\min}\approx3{,}3\cdot10^{2}\) с\(^{-1}\approx8{,}9\cdot10^{-9}\) Ки;  c) \(R=\tau/C\approx22\) МОм, усиление \(K\approx3{,}7\cdot10^{2}\) (368);  d) \(E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\), \(V(r)=V_0-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{2r}{d}\), \(C'=\dfrac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(D/d)}\approx24\) пФ/м, \(\Delta V_{\text{проб}}=\dfrac{E_bd}{2}\ln\dfrac Dd\approx3{,}45\) кВ.

Что происходит. Пролетая через воздух, \(\alpha\)-частица тормозится и всю свою энергию тратит на ионизацию: на образование одной пары ионов уходит \(W=35\) эВ. Поэтому число пар \(N\) — это энергия частицы, делённая на \(W\), а заряд, пришедший на электрод, — \(Ne\). Заряд, собранный на ёмкость \(C\) камеры, даёт импульс напряжения \(Q/C\); поток частиц даёт средний ток; заряженная проволока в цилиндре даёт радиальное поле, которое находится по теореме Гаусса.

Обозначения. \(E_\alpha\) — энергия \(\alpha\)-частицы (чтобы не путать с полем \(E(r)\)); \(W=35\) эВ — энергия образования пары ионов; \(N\) — число пар ионов, созданных одной частицей; \(Q=Ne\) — заряд одного знака, пришедший на электрод; \(C=45\) пФ; \(\eta=0{,}1\) — эффективность регистрации; \(A\) — активность источника; \(\tau=RC\).

Рис. 2. Эквивалентная схема: заряд \(Q\), принесённый \(\alpha\)-частицей, мгновенно заряжает ёмкость камеры \(C\), затем она разряжается через \(R\); напряжение \(V_{\mathrm{out}}\) идёт на усилитель.

a. Энергию частицы находим из эмпирической зависимости пробега от энергии, обратив формулу (1): \[E_\alpha=\left(\frac{R_\alpha}{0{,}318}\right)^{2/3}=\left(\frac{5{,}50}{0{,}318}\right)^{2/3}\text{ МэВ}\approx6{,}69\text{ МэВ}.\]

Рис. 3. Зависимость пробега \(\alpha\)-частицы в воздухе от её энергии, формула (1); точка отмечает частицу из условия.

Вся энергия идёт на образование пар ионов, поэтому число пар \[N=\frac{E_\alpha}{W}=\frac{6{,}69\cdot10^{6}\text{ эВ}}{35\text{ эВ}}\approx1{,}9\cdot10^{5}.\] Рекомбинацией пренебрегаем (так сказано в условии), поэтому все электроны уходят на анод. Их заряд \[Q=Ne\approx1{,}91\cdot10^{5}\cdot1{,}60\cdot10^{-19}\text{ Кл}\approx3{,}06\cdot10^{-14}\text{ Кл}.\] Обратите внимание: в каждой паре два заряда, электрон и положительный ион, но на каждый электрод приходят заряды одного знака — всего \(Ne\). Через цепь проходит заряд \(Ne\), а не \(2Ne\).

Заряд собирается на ёмкость \(C\) быстрее, чем она успевает разрядиться (время сбора заряда много меньше \(RC\)), и амплитуда импульса напряжения \[V=\frac QC=\frac{Ne}{C}=\frac{3{,}06\cdot10^{-14}\text{ Кл}}{4{,}5\cdot10^{-11}\text{ Ф}}\approx6{,}8\cdot10^{-4}\text{ В}.\] Ответ: \(E_\alpha\approx6{,}69\) МэВ, \(N\approx1{,}9\cdot10^{5}\), \(V=Ne/C\approx0{,}68\) мВ.

Проверка: размерность \(\text{Кл}/\text{Ф}=\text{В}\). Порядок величины: одна частица — импульс доли милливольта, поэтому такой сигнал нужно усиливать (пункт c).

b. Из источника с активностью \(A\) в секунду вылетает \(A\) частиц, а камера регистрирует \(\eta A\) из них (остальные летят мимо окна). Каждая зарегистрированная частица приносит заряд \(Q=Ne\), поэтому средний ток насыщения — заряд, делённый на время: \[I=\eta A\,Ne .\]

Рис. 4. Каждая зарегистрированная частица приносит заряд \(Q=Ne\) (стрелка); в среднем в секунду приходит \(\eta A\) частиц, средний ток \(\bar I=\eta A\,Ne\) показан пунктиром.

Наименьшему регистрируемому току \(I_{\min}=10^{-12}\) А отвечает наименьшая активность: \[A_{\min}=\frac{I_{\min}}{\eta\,Ne}=\frac{10^{-12}\text{ А}}{0{,}1\cdot3{,}06\cdot10^{-14}\text{ Кл}}\approx3{,}3\cdot10^{2}\text{ с}^{-1}.\] В кюри (по данным: \(1\text{ Ки}=3{,}7\cdot10^{10}\) с\(^{-1}\)): \[A_{\min}\approx\frac{3{,}3\cdot10^{2}}{3{,}7\cdot10^{10}}\text{ Ки}\approx8{,}9\cdot10^{-9}\text{ Ки}.\] Ответ: \(A_{\min}=\dfrac{I_{\min}}{\eta Ne}\approx3{,}3\cdot10^{2}\) с\(^{-1}\approx8{,}9\cdot10^{-9}\) Ки.

Проверка: второй способ — через число электронов. Ток 1 пА — это \(10^{-12}/1{,}6\cdot10^{-19}\approx6{,}2\cdot10^{6}\) электронов в секунду; одна зарегистрированная частица даёт \(1{,}9\cdot10^{5}\) электронов, значит, нужно \(6{,}2\cdot10^{6}/1{,}9\cdot10^{5}\approx33\) частицы в секунду, а при \(\eta=0{,}1\) — \(330\) распадов в секунду. Совпадает. (С точным \(N=1{,}91\cdot10^{5}\) получается \(327\) с\(^{-1}\), округление до \(3{,}3\cdot10^{2}\) — как в данных условия.)

c. Заряженная ёмкость \(C\) разряжается через сопротивление \(R\) по закону \[V(t)=V_0\,e^{-t/\tau},\qquad\tau=RC ,\] где \(V_0=Q/C\) — амплитуда импульса из пункта a (формула верна, пока заряд собирается быстрее, чем идёт разряд).

Рис. 5. Импульс на выходе камеры: скачок до \(V_0=0{,}68\) мВ, затем экспоненциальный спад с постоянной времени \(\tau=1\) мс; касательная в начале спада пересекает ось \(t\) при \(t=\tau\), при \(t=\tau\) напряжение падает в \(e\) раз.

Постоянная времени задана, ёмкость известна, поэтому \[R=\frac{\tau}{C}=\frac{10^{-3}\text{ с}}{4{,}5\cdot10^{-11}\text{ Ф}}\approx2{,}2\cdot10^{7}\text{ Ом}\approx22\text{ МОм}.\] Сигнал \(V_{\text{сигн}}=0{,}25\) В получается из \(V_0=0{,}68\) мВ усилением \(K\) по напряжению: \[K=\frac{V_{\text{сигн}}}{V_0}=\frac{0{,}25\text{ В}}{6{,}8\cdot10^{-4}\text{ В}}\approx3{,}7\cdot10^{2}\quad(\approx368).\] Ответ: \(R=\tau/C\approx22\) МОм, \(K\approx3{,}7\cdot10^{2}\).

Проверка: размерность \(\text{с}/\text{Ф}=\text{Ом}\). Смысл: импульс спадает за миллисекунду, значит, камера различает частицы, пришедшие с интервалом порядка нескольких миллисекунд, то есть до сотен частиц в секунду.

d. Считаем проволоку и оболочку бесконечно длинными: тогда поле зависит только от расстояния \(r\) до оси и направлено вдоль радиуса.

Рис. 6. Сечение камеры плоскостью, перпендикулярной оси: проволока диаметра \(d\), оболочка диаметра \(D\), поле \(\vec E\) направлено по радиусам; пунктиром показана гауссова окружность радиуса \(r\).

Напряжённость. Применим теорему Гаусса к цилиндру радиуса \(r\) и длины \(l\), ось которого совпадает с осью проволоки (\(d/2<r<D/2\)). Через торцы поток равен нулю, потому что поле лежит в плоскости торца; через боковую поверхность поле перпендикулярно ей и постоянно по модулю: \[\oint\vec E\cdot d\vec S=2\pi rl\,E=\frac{\lambda l}{\varepsilon_0},\qquad\boxed{E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}}.\]

Рис. 7. Вид сбоку: гауссова поверхность — цилиндр длины \(l\); поток идёт только через боковую поверхность, внутри лежит заряд \(\lambda l\).

Потенциал. Поле радиальное, поэтому \(E=-dV/dr\). Проинтегрируем от поверхности проволоки (\(r=d/2\), потенциал \(V_0\)) до произвольного \(r\): \[V(r)-V_0=-\int_{d/2}^{r}E\,dr=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\int_{d/2}^{r}\frac{dr}{r},\qquad\boxed{V(r)=V_0-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{2r}{d}}.\] Потенциал убывает от проволоки к оболочке (при \(\lambda>0\)).

Ёмкость на единицу длины. Разность потенциалов между проволокой и оболочкой (\(r=D/2\)): \[\Delta V=V_0-V\!\left(\frac D2\right)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac Dd .\] Заряд на единице длины проволоки равен \(\lambda\), поэтому по определению ёмкости \(C'=\lambda/\Delta V\): \[\boxed{C'=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(D/d)}}\approx\frac{5{,}56\cdot10^{-11}\text{ Ф/м}}{\ln10}\approx2{,}4\cdot10^{-11}\text{ Ф/м}=24\text{ пФ/м}.\]

Пробой. Напряжённость \(E(r)\propto1/r\) наибольшая у проволоки, при \(r=d/2\): \[E_{\max}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,(d/2)}=\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0 d}.\] Обратите внимание: пробой начинается у тонкой проволоки, а не у катода — на катоде поле в \(D/d=10\) раз слабее. Пробой наступает, когда \(E_{\max}=E_b\), то есть при заряде на единице длины \(\lambda=\pi\varepsilon_0 d\,E_b\). Подставим в \(\Delta V\): \[\Delta V_{\text{проб}}=\frac{E_bd}{2}\ln\frac Dd=\frac{3\cdot10^{6}\text{ В/м}\cdot10^{-3}\text{ м}}{2}\ln10\approx1500\text{ В}\cdot2{,}303\approx3{,}45\cdot10^{3}\text{ В}.\]

Рис. 8. Напряжённость поля при пробойном напряжении: у проволоки \(E=E_b=3\) МВ/м, у оболочки в 10 раз меньше (0,3 МВ/м).

Рис. 9. Потенциал (отсчитан от оболочки) при пробойном напряжении: от 3,45 кВ на проволоке до нуля на оболочке, логарифмическая зависимость.

Ответ: \(E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\), \(V(r)=V_0-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{2r}{d}\), \(C'=\dfrac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(D/d)}\approx24\) пФ/м, \(\Delta V_{\text{проб}}\approx3{,}45\) кВ.

Проверка. Размерность: \(\lambda/\varepsilon_0=(\text{Кл/м})/(\text{Ф/м})=\text{В}\), логарифм безразмерен. Предел тонкого зазора: при \(h=(D-d)/2\ll d\) имеем \(\ln(D/d)\approx2h/d\) и \(C'\approx\pi\varepsilon_0 d/h\) — это ёмкость плоского конденсатора площадью \(\pi d\) на единицу длины и зазором \(h\). При \(D\to d\) разность потенциалов стремится к нулю, как и должно быть. Смысл: пробойное напряжение зависит от \(D/d\) только логарифмом, поэтому для камеры важнее тонкая проволока: она создаёт сильное поле у себя при умеренном напряжении.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.