Эффект Стюарта — Толмена

Перейдите в систему отсчёта, в которой решётка кольца неподвижна: на электроны действует сила инерции вдоль кольца, и она ведёт себя как сторонняя ЭДС. Цепочка колец — это длинный соленоид.

\(B=\dfrac{2\pi\mu_0\,n\,m\,r^2\alpha}{eR}\); поле направлено вдоль оси так же, как вектор углового ускорения.

Что происходит. Решётка кольца раскручивается, а электроны из-за инерции отстают от неё. В системе отсчёта, где решётка неподвижна, на электроны действует сила инерции, направленная вдоль кольца, и она ведёт себя как электрическое поле. Это поле гонит ток по каждому кольцу, а сумма токов колец — ток длинного соленоида, внутри которого есть магнитное поле. Главная идея: ЭДС здесь создаёт не поле, а сила инерции.

Обозначения. \(\alpha\) — угловое ускорение цилиндра (вдоль оси); \(r\) — радиус кольца; \(R\) — его сопротивление; \(n\) — число колец на единицу длины; \(m\), \(e\) — масса и модуль заряда электрона; \(a=r\alpha\) — касательное ускорение элемента кольца. Ось \(x\) направлена вдоль оси цилиндра вдоль вектора \(\vec\alpha\).

Рис. 1. Установка: кольца радиуса \(r\) на стеклянном цилиндре, \(n\) колец на единицу длины (\(1/n\) — расстояние между соседними); цилиндр раскручивается с угловым ускорением \(\alpha\), поле \(\vec B\) в центре направлено вдоль оси.

1. Сила инерции вдоль кольца. Возьмём небольшой элемент кольца и свяжем систему отсчёта с ним, то есть с положительными ионами решётки. Эта система неинерциальна: элемент кольца движется по окружности с угловым ускорением \(\alpha\). Его радиальное (центростремительное) ускорение удерживается решёткой, а вызванное им смещение электронов устанавливается за ничтожное время и тока вдоль кольца не создаёт. Касательная составляющая ускорения равна \(a=r\alpha\) и направлена по касательной, в сторону вращения.

На электрон в этой системе действует сила инерции \(\vec F_{\text{ин}}=-m\vec a\). Она направлена против ускорения решётки, по касательной к кольцу, и по модулю одинакова во всех точках кольца: \[F_{\text{ин}}=mr\alpha .\]

Рис. 2. Вид вдоль оси: кольцо радиуса \(r\), угловое ускорение \(\alpha\) направлено на нас; ускорение элемента решётки \(\vec a\) направлено по касательной по вращению, сила инерции \(\vec F_{\text{ин}}\) на электрон — против него, сила торможения \(\vec F_{\text{тр}}\) со стороны решётки — по нему; ток \(I\) течёт по вращению.

2. Установившееся движение электронов. Электроны взаимодействуют с решёткой (сопротивление металла): чем больше скорость электрона относительно решётки, тем сильнее тормозящая сила \(\vec F_{\text{тр}}\), действующая на него со стороны решётки (закон Ома в микроскопическом виде). Поэтому электроны не набирают скорость без предела: через время порядка времени между столкновениями сила торможения уравновешивает силу инерции: \[\vec F_{\text{ин}}+\vec F_{\text{тр}}=0 .\] Электроны движутся относительно решётки с постоянной скоростью, направленной против вращения, то есть ионы и электроны движутся с чуть разными угловыми скоростями. Относительно неподвижной (лабораторной) системы разность \(\Delta\omega\) угловых скоростей решётки и электронов остаётся постоянной, пока \(\alpha\) постоянно, поэтому ток вдоль кольца устанавливается и дальше не меняется.

Рис. 3. Угловая скорость решётки (прямая \(\omega=\alpha t\)) и электронов: электроны сначала отстают, затем движутся параллельно решётке с постоянным отставанием \(\Delta\omega\) — это и есть ток (время установления условно увеличено, в металле оно порядка \(10^{-14}\) с).

3. Эквивалентное поле и ток в кольце. Сила инерции вдоль кольца действует на электроны так же, как действовало бы касательное электрическое поле \(E\), для которого \(eE=mr\alpha\): \[E=\frac{mr\alpha}{e}.\] Обратите внимание: это поле фиктивное — оно описывает силу инерции, но ток, который оно создаёт, настоящий: в лабораторной системе электроны и решётка вращаются с чуть разными угловыми скоростями, и избыток движения зарядов одного знака даёт обычный ток по кольцу.

Поле направлено вдоль кольца и по модулю постоянно, поэтому ЭДС по контуру кольца \[\mathcal E=2\pi r\,E=\frac{2\pi m r^2\alpha}{e},\] а ток по закону Ома для кольца сопротивлением \(R\) \[I=\frac{\mathcal E}{R}=\frac{2\pi m r^2\alpha}{eR}.\] Здесь самоиндукцией колец пренебрегаем: в установившемся режиме \(I\) постоянен, и магнитный поток не меняется.

Направление тока: электроны отстают от решётки, то есть движутся относительно неё против вращения, поэтому условный ток направлен по вращению, и вектор \(\vec B\) в центре — вдоль \(\vec\alpha\) (правило правого винта).

4. Поле длинного соленоида. Кольца лежат в параллельных плоскостях, густо и равномерно, и в каждом течёт ток \(I\) в одну сторону. Цилиндр очень длинный, и точка в его центре лежит далеко от концов, поэтому система — длинный соленоид с \(n\) витками на единицу длины. Поле внутри него однородно, снаружи равно нулю. Найдём его по теореме о циркуляции \(\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I_{\text{охв}}\) для прямоугольного контура длиной \(l\), одной стороной внутри соленоида, другой снаружи.

Рис. 4. Продольный разрез соленоида: точки — ток к нам, крестики — ток от нас. Контур обходится по часовой стрелке; внутри \(B\) направлено вправо, снаружи \(B\approx0\). Контур охватывает \(nl\) витков.

Циркуляция идёт только по стороне внутри соленоида, потому что вне его \(B\approx0\), а поперечные стороны перпендикулярны полю: \[Bl=\mu_0\,(nl)\,I\quad\Rightarrow\quad B=\mu_0 nI .\] Точка на оси неподвижна и в лабораторной системе, и в системе решётки, поэтому поле в её центре одно и то же в обеих.

5. Ответ. Подставим ток из пункта 3: \[\boxed{B=\mu_0 nI=\frac{2\pi\mu_0\,n\,m\,r^2\alpha}{eR}} .\] Для оценки: \(n=10^{3}\text{ м}^{-1}\), \(r=0{,}1\) м, \(\alpha=100\text{ рад/с}^2\), \(R=10^{-2}\) Ом дают \(\mathcal E\approx3{,}6\cdot10^{-11}\) В, \(I\approx3{,}6\cdot10^{-9}\) А и \(B\approx4{,}5\cdot10^{-12}\) Тл — эффект крошечный, но по нему можно найти знак и отношение \(e/m\) носителей тока.

Проверка. Размерность: \(m r^2\alpha/e\) — это \(\text{кг}\cdot\text{м}^2\cdot\text{с}^{-2}/\text{Кл}=\text{Дж}/\text{Кл}=\text{В}\), то есть ЭДС; \(\mathcal E/R\) — ток, а \(\mu_0 n I\) — индукция (Тл). Второй способ — модель Друде. Пусть \(\tau_c\) — среднее время между столкновениями электрона с решёткой, \(n_e\) — концентрация электронов, \(S\) — сечение проволоки. Между столкновениями электрон свободен, а решётка ускоряется с ускорением \(a\), поэтому относительно решётки электрон в среднем движется со скоростью \(v=a\tau_c\) против её ускорения, и плотность тока \(j=n_e e\,a\tau_c\). Сопротивление кольца в той же модели \(R=2\pi r m/(n_e e^2\tau_c S)\), поэтому \(I=jS=n_e e\,r\alpha\tau_c S=\dfrac{m r\alpha}{e}\cdot\dfrac{2\pi r}{R}\) — тот же результат, причём \(\tau_c\) и \(n_e\) сокращаются. Предел \(\alpha\to0\): вращение равномерное, силы инерции вдоль кольца нет, \(B\to0\). Смысл: поле растёт с ускорением, а не со скоростью вращения: равномерно вращающийся цилиндр магнитного поля не создаёт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.