Противостояние Марса

Для нахождения радиуса орбиты Марса применим к этой планете второй закон Ньютона, учитывая лишь её притяжение к Солнцу: \[M_M\omega_M^2R_M = G\dfrac{M_SM_M}{R_M^2},\qquad (119)\] где \(M_M\) — масса Марса, \(M_S\) — масса Солнца, \(G\) — гравитационная постоянная. Аналогичное уравнение запишем для Земли: \[M_E\omega_E^2R_E = G\dfrac{M_SM_E}{R_E^2}.\qquad (120)\] Разделив уравнение (120) на уравнение (119), получим \[\dfrac{\omega_E}{\omega_M} = \dfrac{T_M}{T_E} = \left(\dfrac{R_M}{R_E}\right)^{3/2} = k.\qquad (121)\] Отсюда находим искомый радиус орбиты Марса: \[R_M = R_Ek^{2/3} = 1{,}52R_E = 2{,}28\cdot10^{11}\text{ м}.\] Равенство (121) отражает так называемый третий закон Кеплера. В более общем случае он связывает периоды обращения планет с большими полуосями \(a\) их эллиптических орбит: \[\dfrac{T_M}{T_E} = \left(\dfrac{a_M}{a_E}\right)^{3/2}.\qquad (122)\] В положении противостояния Земля, Марс и Солнце лежат на одной прямой (рис. 106).

Если радиус-векторы Земли и Марса вращаются с разными угловыми скоростями \(\omega_M\) и \(\omega_E\), то очередное противостояние наступит через промежуток времени \(\tau\), в течение которого разность углов поворота окажется равной \(2\pi\): \[\omega_E\tau - \omega_M\tau = 2\pi.\] Отсюда находим \[\tau = \dfrac{T_Ek}{k-1} \approx 780\text{ суток}.\] Чтобы найти угловое смещение \(\varphi\) линии противостояния за промежуток времени \(\tau\), следует принять во внимание, что за это время радиус-вектор Марса повернётся на угол, превышающий \(2\pi\) на искомую величину \(\varphi\): \[\varphi = \omega_M\tau - 2\pi = 2\pi\dfrac{2-k}{k-1} \approx 49^\circ.\] Для выполнения заданий пункта 3 рассмотрим траекторию Марса в виде эллипса, изображённого на рис. 107.

Лучи \(M_1S\) и \(M_2S\), ограничивающие угол \(\varphi\), — линии последовательных противостояний вблизи точки орбиты Марса, удалённой от Солнца приблизительно на расстояние \(R\). Вероятно, \(\varphi\) зависит от того, в каком месте эллиптической орбиты окажутся линии последовательных противостояний. Тогда и время между этими противостояниями должно определяться их положениями на орбите. Для проверки этого предположения следует вычислить промежуток времени \(\tau\) между противостояниями как функцию расстояния \(R\) между Марсом и Солнцем.

За время \(\tau\) Марс совершает один оборот и дополнительно проходит дугу \(M_1M_2\), а Земля — два оборота и дугу \(E_1E_2\). Поэтому \[\tau = T_M + t_M = 2T_E + t_E,\qquad (123)\] где \(t_M\) — время движения Марса по дуге \(M_1M_2\), а \(t_E\) — время движения Земли по дуге \(E_1E_2\).

Для Земли \[t_E = \dfrac{\varphi}{\omega_E} = \dfrac{\varphi}{2\pi}T_E,\qquad (124)\] где \(\varphi\) — угловое перемещение линии противостояния. Время \(t_M\) найдём, воспользовавшись вторым законом Кеплера, который говорит о том, что секторная скорость движения планеты по эллиптической орбите в любой момент одинакова. Площадь сектора \(SM_1M_2\), ограниченного углом \(\varphi\) и траекторией Марса, равна \(\varphi R^2/2\). Считая эллиптичность орбиты Марса малой, можно приближённо оценить её площадь как \(\pi\left(\dfrac{R_{\max} + R_{\min}}{2}\right)^2\). Таким образом, для времени \(t_M\) движения Марса по дуге \(M_1M_2\) находим следующее выражение: \[t_M = T_M\dfrac{\varphi R^2/2}{\pi\left(\dfrac{R_{\max} + R_{\min}}{2}\right)^2} = T_M\dfrac{2\varphi}{\pi}\dfrac{R^2}{(R_{\max} + R_{\min})^2}.\qquad (125)\] Из формул (124) и (125) получаем \[\dfrac{t_M}{t_E} = \dfrac{T_M}{T_E}\left(\dfrac{2R}{R_{\max} + R_{\min}}\right)^2.\] Подставим это соотношение в формулу (123): \[\tau = T_M + t_E\dfrac{T_M}{T_E}\left(\dfrac{2R}{R_{\max} + R_{\min}}\right)^2 = 2T_E + t_E.\] Отсюда найдём вначале \[t_E = \dfrac{2T_E - T_M}{\dfrac{T_M}{T_E}\left(\dfrac{2R}{R_{\max} + R_{\min}}\right)^2 - 1},\qquad \tau = 2T_E + \dfrac{2T_E - T_M}{\dfrac{T_M}{T_E}\left(\dfrac{2R}{R_{\max} + R_{\min}}\right)^2 - 1}.\qquad (126)\] Имеем \(2T_E - T_M = 2T_E - kT_E = T_E(2-k) > 0\). Кроме того, поскольку \(R\) изменяется в пределах от \(R_{\min}\) до \(R_{\max}\), из соотношений (126) следует, что наименьшему значению \(R = R_{\min}\) соответствует наибольшее значение \(\tau = \tau_{\max}\), а наибольшему значению \(R = R_{\max}\) — наименьшее значение \(\tau = \tau_{\min}\). Воспользуемся упомянутым выше третьим законом Кеплера для системы Марс–Земля: \[\dfrac{T_M}{T_E} = \left(\dfrac{R_{\max} + R_{\min}}{2R_E}\right)^{3/2}.\] Подставляя найденное соотношение в равенства (126), найдём \[\tau = 2T_E + \dfrac{2T_E - T_M}{k^{-1/3}\left(\dfrac{R}{R_E}\right)^2 - 1}.\] Отсюда, подставляя численные значения, получим \[R_{\min} = k^{1/6}R_E\sqrt{\dfrac{\tau_{\max} - T_M}{\tau_{\max} - 2T_E}} \approx 1{,}38R_E \approx 2{,}07\cdot10^{11}\text{ м};\] \[R_{\max} = k^{1/6}R_E\sqrt{\dfrac{\tau_{\min} - T_M}{\tau_{\min} - 2T_E}} \approx 1{,}68R_E \approx 2{,}52\cdot10^{11}\text{ м}.\] Величина \[a = \dfrac12(R_{\min} + R_{\max}) = 1{,}53R_E\] представляет собой большую полуось эллиптической орбиты Марса, связанную с периодом \(T_M\) третьим законом Кеплера (122). Сравнение полученных результатов и реальных значений \(R_{\min} = 1{,}38R_E\), \(R_{\max} = 1{,}66R_E\), \(a = 1{,}52R_E\) показывает, что принятые в решении задачи приближения неплохо описывают исследуемое здесь явление не только качественно, но и количественно.

Решение данной задачи иллюстрирует типичную для физики ситуацию, когда нужно найти величины, не поддающиеся непосредственным измерениям. В рассматриваемом примере размер орбиты Марса «определяется часами».