Астероид

Скорость у Земли находится из энергии на эллиптической орбите с заданной большой полуосью; тангенциальную составляющую даёт сохранение момента импульса между перигелием и точкой встречи с Землёй, а при подлёте к Земле к кинетической энергии добавляется энергия притяжения Земли.

1) \(v\approx34{,}5\) км/с;  2) \(v_t\approx30{,}2\) км/с, \(v_r\approx16{,}7\) км/с;  3) \(u_r=v_r\), \(u_t\approx0{,}2\) км/с;  4) \(w\approx20{,}1\) км/с.

1) Большая полуось равна \(a=\frac12(r_1+r_2)=\frac12(\alpha+\beta)R\). Поэтому полная энергия астероида в месте нахождения Земли \[\frac Em=-\frac{\gamma M}{2a}=\frac12v^2-\frac{\gamma M}{R}.\] Учитывая, что \(v_0^2=\dfrac{\gamma M}{R}\), перепишем это в виде \[\frac{v_0^2}{\alpha+\beta}=v_0^2-\frac12v^2.\] Итак, получаем \[v=v_0\sqrt{2\left[1-(\alpha+\beta)^{-1}\right]}\approx34{,}5\text{ км/с}.\]

2) Тангенциальную компоненту можно найти из закона сохранения момента импульса: \(v_t=v_p\beta\), где скорость в перигелии можно найти аналогично \(v\): \[v_p=v_0\sqrt{2\left(\frac1\beta-\frac1{\alpha+\beta}\right)}=v_0\sqrt{\frac{2\alpha}{\beta(\alpha+\beta)}}\approx46{,}5\text{ км/с}.\] Значит, \[v_t=v_0\sqrt{\frac{2\alpha\beta}{\alpha+\beta}}\approx30{,}2\text{ км/с}.\] Радиальная компонента \[v_r=\sqrt{v^2-v_t^2}\approx16{,}7\text{ км/с}.\]

3) Требуемые компоненты можно найти, вычтя орбитальную скорость Земли. Очевидно, \(u_r=v_r\), а \[u_t=v_t-v_0\approx0{,}2\text{ км/с}.\]

4) Когда астероид приближается к поверхности Земли по параболической орбите, к его кинетической энергии в системе отсчёта Земли добавляется энергия, обусловленная силой тяготения Земли \(gR_0\): \[w=\sqrt{u_t^2+u_r^2+2gR_0}\approx20{,}1\text{ км/с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.