Электрон

Проинтегрируйте уравнения движения по времени дважды при нулевых начальных условиях: движение — равномерный дрейф плюс вращение по окружности, т. е. циклоида.

1) \(u=\dfrac{eE_0}{\omega m}\) вдоль оси \(y\);  2) циклоида, радиус \(R=\dfrac{eE_0}{\omega^2m}\), расстояние между соседними петлями \(\Delta=2\pi R\).

Запишем второй закон Ньютона для \(x\)- и \(y\)-компонент координат электрона: \[m\ddot x=-eE_0\cos\omega t,\qquad m\ddot y=eE_0\sin\omega t.\] Проинтегрируем эти уравнения по времени (помня, что начальная скорость равна нулю): \[m\dot x=-eE_0\omega^{-1}\sin\omega t,\qquad m\dot y=eE_0\omega^{-1}(1-\cos\omega t).\] Теперь проинтегрируем ещё раз, помня, что начальные координаты равны нулю: \[x=\frac{eE_0}{m\omega^2}(\cos\omega t-1),\qquad y=\frac{eE_0}{\omega m}\,t-\frac{eE_0}{m\omega^2}\sin\omega t.\]

Итак, электрон совершает движение по окружности в системе отсчёта, движущейся со скоростью (параллельной оси \(y\)) \(u=\dfrac{eE_0}{\omega m}\). Радиус орбиты равен \(R=\dfrac{eE_0}{\omega^2m}\). В лабораторной системе это циклоида (кривая, описываемая точкой на ободе катящегося диска); расстояние между соседними петлями \(\Delta=2\pi u/\omega=2\pi R\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.