Летающая электронная пушка

Подъёмная сила равна импульсу, уносимому электронами за единицу времени: найдите их скорость из энергии, набранной в поле, и число электронов в секунду из тока.

\(F=I\sqrt{2U/k}\); условие: \(I\sqrt U\ge m_Tg\sqrt{k/2}\approx4{,}3\cdot10^8\) А\(\cdot\sqrt{\text{В}}\); у телевизора \(I\sqrt U\approx0{,}017\) А\(\cdot\sqrt{\text{В}}\), то есть устройство нереалистично.

Пусть абсолютная величина заряда электрона \(e\), а масса \(m_e\). За время \(t\) с катода уходит группа электронов с суммарным зарядом по абсолютной величине \(q=It\). Число электронов, вылетающих за это время, равно тогда \(N=q/e=It/e\), а масса \(m=Nm_e=Itm_e/e\). Найдём ещё, как быстро эти электроны движутся. Один электрон получает в электронной пушке кинетическую энергию \(E=Ue\). В то же время \(E=m_ev^2/2\), поэтому \(v=\sqrt{2E/m_e}=\sqrt{2Ue/m_e}\). Суммарный импульс электронов, вылетевших за время \(t\), равен \(p=mv=\dfrac{Itm_e}{e}\sqrt{\dfrac{2Ue}{m_e}}=It\sqrt{2U\dfrac{m_e}{e}}\). Так как электронная пушка меняет за время \(t\) импульс электронов на \(p\), то на неё действует в среднем сила \(F=\dfrac pt=I\sqrt{2U\dfrac{m_e}{e}}=I\sqrt{\dfrac{2U}{k}}\). Чтобы поднять машину в воздух, эта сила \(F\) должна превзойти действующую на машину (вместе с Самоделкиным) силу тяжести \(m_Tg\), то есть \(F\ge m_Tg\), или \(I\sqrt U\ge m_Tg\sqrt{\dfrac k2}\approx4{,}3\cdot10^8\text{ А}\cdot\sqrt{\text{В}}\). Очевидно, \(I\) и \(U\) должны быть нереалистично велики (у телевизора \(I\sqrt U\approx0{,}017\text{ А}\cdot\sqrt{\text{В}}\)), так что у Самоделкина нет никакой надежды полететь на такой машине.

Замечание. Проводя те же рассуждения с учётом специальной теории относительности, мы получили бы, что более точная формула такова: \(F=I\sqrt{\dfrac{2U}{k}+\dfrac{U^2}{c^2}}\), где \(c\approx3{,}0\cdot10^8\) м/с "— скорость света в вакууме. Поэтому релятивистские эффекты можно не учитывать только если \(\dfrac{U^2}{c^2}\ll\dfrac{2U}{k}\), то есть \(U\ll\dfrac{2c^2}{k}\approx1{,}0\cdot10^6\) В. Учитывая нужный порядок величины \(I\sqrt U\), Самоделкину, как ни печально, придётся изучить и теорию относительности…{} Взлететь он всё равно не сможет.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.