Рогатка

Сначала по дальности полёта найдите скорость вылета камня, затем приравняйте кинетическую энергию камня к энергии растянутого шнура и найдите удлинение; расстояние оттягивания и силу даёт геометрия треугольника с двумя половинами шнура.

\(x\approx54\) см, \(d\approx48\) см, \(F\approx45\) Н.

Пусть \(v\) "— скорость, которую приобретает камень после выстрела. Горизонтальная составляющая этой скорости \(v_x=v\cos\alpha\), вертикальная соответственно \(v_y=v\sin\alpha\). Время полёта камня тогда \[t=2\frac{v_y}{g}=2\frac{v\sin\alpha}{g},\] а дальность полёта \[L=v_xt=\frac{2v^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}=\frac{v^2\sin2\alpha}{g}.\] Отсюда \[v^2=\frac{gL}{\sin2\alpha}.\]

Камень приобретает начальную скорость благодаря упругой энергии резинового шнура. Пусть удлинение шнура по сравнению с начальным состоянием \(x\), тогда \[\frac{kx^2}{2}=\frac{mv^2}{2},\] откуда \[x^2=\frac{mv^2}{k}\quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{\frac{mgL}{k\sin2\alpha}}\approx54\text{ см}.\] В прямоугольном треугольнике теперь гипотенуза равна \(l/2+x/2\). Искомое расстояние, на которое нужно оттянуть шнур, равно \[d=\sqrt{(l/2+x/2)^2-(l/2)^2}\approx48\text{ см}.\] В резиновом шнуре возникает сила упругости \(F_e=kx\). Сила, с которой нужно оттягивать шнур, равна удвоенной проекции этой силы на ось \(z\): \[F=2kx\frac{d}{l/2+x/2}\approx45\text{ Н}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.