Водный пистолет

Работа силы на перемещении поршня идёт на приращение кинетической энергии воды: вытесненный у поршня объём «исчезает» со скоростью \(v_1\) и «появляется» у отверстия со скоростью \(v_2\); скорости связаны неразрывностью струи.

\(v_2=\dfrac1{d_1}\sqrt{\dfrac{8F}{\pi\rho}}\approx22{,}6\) м/с.

Так как диссипативные эффекты не учитываются, должен выполняться закон сохранения механической энергии. Пусть поршень движется под действием силы \(F\) со скоростью \(v_1\), а скорость воды в отверстии \(v_2\). Так как полный объём воды не меняется, то \(v_1S_1=v_2S_2\). За промежуток времени \(t\) поршень проходит расстояние \(x=v_1t\), совершая работу \(A=Fx\). Посмотрим, каково соответствующее этому движению изменение суммарной кинетической энергии воды. С одной стороны, перед поршнем «исчезает» масса воды \(m=S_1x\rho\), скорость которой была \(v_1\), с другой стороны, у отверстия появляется такое же количество воды, движущейся со скоростью \(v_2\). Закон сохранения энергии даёт \[A+\frac{mv_1^2}{2}=\frac{mv_2^2}{2},\] или после подстановки и исключения \(v_1\) \[\frac{F}{S_1}+\frac{\rho v_2^2}{2}\,\frac{S_2^2}{S_1^2}=\frac{\rho v_2^2}{2}.\] Но \(d_2\ll d_1\), а \(S\propto d^2\), значит, тем более \(S_2^2\ll S_1^2\), и второе слагаемое в левой части равенства можно опустить. Выражаем \(v_2\): \[v_2=\frac1{d_1}\sqrt{\frac{8F}{\pi\rho}}\approx22{,}6\text{ м/с}.\] Задачу можно было решить и более коротким путём, исходя из закона Бернулли \[p+\frac{\rho v^2}{2}=\text{const},\] который мы в ходе решения, по существу, вывели.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.