Труба

Давление в каждой трубе находится по высоте столба воды в вертикальной трубке; скорость во второй трубе — из уравнения Бернулли, а диаметры связаны неразрывностью потока.

\(\dfrac{d_1}{d_2}=\left(1+\dfrac{2g(h_1-h_2)}{v_1^2}\right)^{1/4}\).

Из закона Бернулли получаем соотношение \(\dfrac{\rho v_1^2}{2}+p_1=\dfrac{\rho v_2^2}{2}+p_2\). Давление в трубах находим по высоте столба воды: \(p_1=p_0+\rho gh_1\) и \(p_2=p_0+\rho gh_2\), где \(p_0\) — атмосферное давление. Подставляя \(p_1\) и \(p_2\) в первое соотношение, получаем скорость воды во второй трубе: \(v_2=\sqrt{v_1^2+2g(h_1-h_2)}\). Так как трубы соединены, за одно и то же время через них должно протекать одно и то же количество воды: \(v_1S_1=v_2S_2\). Так как площадь сечения трубы \(S=\pi d^2/4\), получаем \(v_1d_1^2=v_2d_2^2\). В итоге \[\frac{d_1}{d_2}=\sqrt{\frac{v_2}{v_1}}=\left(1+\frac{2g(h_1-h_2)}{v_1^2}\right)^{1/4}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.