Нервная клетка
Мембрану нервной клетки можно рассматривать как тонкую плёнку ёмкости \(C\), через которую проходят ионные каналы, позволяющие зарядам проходить через мембрану. С точки зрения электрического баланса нервной клетки важными ионами являются натрий и калий. Если ион натрия (с зарядом \(+e\)) проходит нервный канал (входя в клетку), химические силы совершают работу \(e\mathcal E_{\text{Na}}\), так что можно сказать, что на ионы натрия в ионном канале действует электродвижущая сила \(\mathcal E_{\text{Na}}\). В случае ионов калия процесс прохождения мембраны точно такой же, но эффективная электродвижущая сила равна \(\mathcal E_{\text{K}}\,(\ne\mathcal E_{\text{Na}})\). Кроме химических сил при движении заряда в ионном канале действуют также силы трения, которые можно описать с помощью электрического сопротивления: для ионов натрия сопротивление мембраны равно \(R_{\text{Na}}\), для ионов калия — \(R_{\text{K}}\). Какой заряд собирается на мембране нервной клетки, когда она достигает электрического равновесия? (10 б.)
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ равновесии ток через конденсатор не идёт, поэтому токи через калиевую и натриевую ветви равны по модулю и противоположны по направлению.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(q=C\dfrac{R_{\text{K}}\mathcal E_{\text{Na}}+R_{\text{Na}}\mathcal E_{\text{K}}}{R_{\text{Na}}+R_{\text{K}}}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеТак как заряды могут течь через мембрану тремя разными путями, а собирающийся на конденсаторе заряд создаёт общее для всех трёх путей электростатическое напряжение \(U\), то для моделирования нервной клетки подходит схема, где параллельно соединены три токовых пути: путь через конденсатор, путь калия и путь натрия.
Когда наступает равновесие, ток через конденсатор не идёт. Для этого сумма токов калия и натрия должна быть электрически нейтральной (равной нулю). Ток калия равен \((\mathcal E_{\text{K}}-U)/R_{\text{K}}\). Ток натрия равен \((\mathcal E_{\text{Na}}-U)/R_{\text{Na}}\). Приравнивая сумму этих токов нулю, получаем выражение для напряжения \[U=\frac{R_{\text{K}}\mathcal E_{\text{Na}}+R_{\text{Na}}\mathcal E_{\text{K}}}{R_{\text{Na}}+R_{\text{K}}}.\] Полный заряд мембраны тогда равен \[q=CU=C\,\frac{R_{\text{K}}\mathcal E_{\text{Na}}+R_{\text{Na}}\mathcal E_{\text{K}}}{R_{\text{Na}}+R_{\text{K}}}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Конденсаторы и ключи МОШ 2011/12, отборочный этап, 11 кл.
- Резисторы и конденсаторы NBPhO 2016/17, заключительный этап, 11 кл.
- Заряд конденсаторов в мостовой схеме Курчатов 2019/20, отборочный этап, 8 кл.
- Ток в схеме с конденсаторами Ведомственная 2019/20, отборочный этап, 10 кл.
- Схема с конденсаторами и резисторами Ведомственная 2021/22, отборочный этап, 10 кл.
- Теплота после размыкания ключа «Покори Воробьёвы горы!» 2009/10, заключительный этап, 11 кл.