Цепь с конденсатором, установившийся режим

Тепло равно работе батареи минус изменение энергии конденсаторов. Найдите заряды и напряжения на конденсаторах до и после замыкания \(K_2\).

\(48\) мДж.

При быстрой перезарядке через провода заряд делится поровну (с потерями на излучение), а через резистор конденсатор разряжается полностью, и выделяется вся его энергия. Сосчитайте энергию, оставшуюся после каждого шага.

\(\dfrac{Q_1}{Q_2} = \dfrac{16}{11}\).

Если сначала замкнуть ключ \(K_1\), то произойдёт быстрая перезарядка конденсаторов, при которой начальный заряд перераспределится поровну между двумя конденсаторами, то есть каждый конденсатор окажется заряженным до напряжения \(2U\). При этом сила текущего через соединительные провода тока будет велика, и ощутимая часть энергии будет потеряна из-за излучения. Количество теплоты, которое затем выделится в резисторе после замыкания ключа \(K_2\), равно \[Q_1 = 2\cdot\frac{1}{2}C(2U)^2 = 4CU^2 .\] Если сначала замкнуть ключ \(K_2\), то в резисторе выделится количество теплоты, равное энергии заряженного конденсатора \(\dfrac{CU^2}{2}\). Если затем замкнуть ключ \(K_1\), то сначала произойдёт быстрая перезарядка конденсаторов, при которой начальный заряд перераспределится поровну между двумя конденсаторами, т.е. каждый конденсатор окажется заряженным до напряжения \(3U/2\). Затем конденсаторы будут разряжаться через резистор. Тогда суммарное выделившееся количество теплоты в этом случае равно: \[Q_2 = \frac{CU^2}{2} + 2\cdot\frac{1}{2}C\left(\frac{3}{2}U\right)^2 = \frac{11}{4}CU^2 .\] Окончательно получаем: \[\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{16}{11} .\]

Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе не меняется, а в стационарном режиме токов нет. Для тепла используйте баланс энергии: работа батарей минус изменение энергии конденсаторов.

а) \(Q_1 = \dfrac{C\mathcal{E}^2}{4} = 0{,}4\) мДж;  б) \(I_2 = \dfrac{3\mathcal{E}}{2r} = 3\) А;  в) \(Q_2 = \dfrac{3C\mathcal{E}^2}{4} = 1{,}2\) мДж;  г) \(q_4 = C\mathcal{E} = 0{,}4\) мКл, \(q_5 = 2C\mathcal{E} = 0{,}8\) мКл;  д) \(q_4' = 0\), \(q_5' = 0\).

Тепло в \(R\) — это работа источника минус энергия, запасённая в конденсаторах, но при замыкании ключа заряд ещё и быстро перераспределяется между конденсаторами без участия \(R\) — эта часть энергии в \(R\) не выделяется.

Количества теплоты, выделившиеся в резисторе \(R\) после замыкания ключа \(K_1\) и ключа \(K_5\), отличаются в \(Q_1/Q_5 = 5\) раз.

В установившемся режиме токов нет, а конденсаторы, соединённые последовательно, несут одинаковый заряд. Во втором пункте найдите заряд, протекший через источник \(\varepsilon\), и запишите баланс энергии для правого контура.

1) \(U_1 = U_2 = \varepsilon = 2\) В;  2) \(Q = 2C\varepsilon^2 = 8\) мкДж.

В установившемся режиме после замыкания ключа \(K_1\) по закону сохранения заряда \(C U_1 = C U_2\). Из второго закона Кирхгофа \(U_1 + \varepsilon + U_2 - 3\varepsilon = 0\). Откуда \(U_1 = U_2 = \varepsilon = 2\) В.

После замыкания ключа \(K_2\) конденсатор, имеющий напряжение \(U_1\), мгновенно перезарядится до напряжения \(3\varepsilon\), при этом на ключе выделится часть тепла в виде искры. После этого начнется перезарядка второго конденсатора в правом контуре. Заряд, протекший через источник с \(\varepsilon\), равен \(2C\varepsilon\). По закону сохранения энергии \[2C\varepsilon\cdot\varepsilon + \frac{C\varepsilon^2}{2} = \frac{C\varepsilon^2}{2} + Q.\] Отсюда \(Q = 2C\varepsilon^2 = 8\) мкДж.

В положении 1 заряд перераспределяется между \(3C\) и \(C\) без потерь на «длинных» резисторах, в положении 2 конденсатор \(C\) разряжается на \(2C\). Что остаётся неизменным в каждой из этих двух операций и к какому пределу сходится процесс?

\(q_3 = \dfrac{3CU_0}{2} = 5{,}4\) мКл, \(q = \dfrac{CU_0}{2} = 1{,}8\) мКл, \(q_2 = CU_0 = 3{,}6\) мКл, \(Q_1 \approx \dfrac{3CU_0^2}{4} \approx 6{,}5\cdot 10^{-2}\) Дж, \(Q_2 \approx 0\).

Выясните, какие пластины и как образуют конденсаторы в каждом положении ключей. Теплота во втором случае — по закону сохранения энергии с учётом работы обеих батарей.

1) \(Q_1 \approx 3{,}5\) нДж;  2) \(Q_2 \approx 10{,}6\) нДж.

a. До замыкания ключа \(K_2\) выделяется количество теплоты, равное \(Q_1 = \dfrac{(C/2)\,\mathcal{E}^2}{2} \approx 3{,}5\) нДж, при этом \(C = 8{,}85\cdot 10^{-10}\) Ф — ёмкость конденсатора, образованного двумя соседними пластинами.

b. После замыкания ключа \(K_2\) и окончания переходного процесса заряды пластин 1 и 3 станут равны нулю. Количество теплоты находится по закону сохранения энергии, при этом первая батарея совершает отрицательную работу. \(Q_2 = \dfrac{3C\mathcal{E}^2}{4} \approx 10{,}6\) нДж.

Внешняя сфера — уединённый шар с ёмкостью, пропорциональной радиусу. После замыкания \(K_2\) внутренняя сфера оказывается заземлённой: её потенциал равен нулю, поэтому на ней появляется индуцированный заряд.

1) \(Q = 3\) мДж;  2) \(A_2 = 3\) мДж.

После замыкания ключа \(K_1\) на внешней сфере возникает заряд \(q_1 = 6\pi\varepsilon_0 D\mathcal{E}\). Энергия электростатического взаимодействия зарядов сферы оказывается равна \(W_1 = \dfrac{\mathcal{E} q_1}{2}\), при этом батарея совершает работу \(A_1 = \mathcal{E} q_1\) по перемещению заряда \(q_1\). Из закона сохранения энергии следует, что количество теплоты, выделяющееся в цепи, равно \[Q = A_1 - W_1 = 3\pi\varepsilon_0 D\mathcal{E}^2 = 3\text{ мДж}.\] После замыкания ключа \(K_2\) заряд на внешней сфере изменится и станет равен \(q_2\), при этом на внутренней сфере возникнет некоторый заряд \(q'\). Из условия равенства нулю потенциала внутренней сферы получим равенство \(q' = -\dfrac{q_2}{3}\). Теперь можно определить заряд внешней сферы, приравняв потенциал, создаваемый на ней зарядами \(q'\) и \(q_2\), значению ЭДС источника. В итоге получим: \(q_2 = 9\pi\varepsilon_0 D\mathcal{E}\), так что искомая работа батареи равна \[A_2 = \mathcal{E}(q_2 - q_1) = 3\pi\varepsilon_0 D\mathcal{E}^2 = 3\text{ мДж}.\]

Капля растекается, когда это выгодно энергетически: запишите полную энергию «источник + конденсаторы + поверхность капли» как функцию ёмкости \(C_2\) растёкшейся капли и найдите её минимум. Излом графика — момент, когда минимум впервые приходится на \(C_2 > 0\).

1) \(U_C = \dfrac{4}{3}U_1\);  2) \(\sigma = \dfrac{\varepsilon\varepsilon_0U_1^2}{9h} \approx 0{,}479\) Н/м.

Покажем ниже, что при напряжениях источника меньших \(U_1\) капелька не растекается и конденсатор Глюка представляет собой обычный плоский конденсатор ёмкостью \(C_1\). Заметим, что вклад капельки в ёмкость отсутствует из-за того, что она по условию маленькая.

При напряжениях источника больших, чем \(U_1\), конденсатор Глюка представляет собой два параллельно соединённых конденсатора ёмкостями \(C_1\) и \(C_2\). Конденсатор \(C_2\) имеет в качестве одной обкладки нижнюю плоскость, а его вторая обкладка — это растёкшаяся капелька проводящей жидкости. Обозначим площадь растёкшейся капельки \(S\), тогда: \[C_2 = \frac{\varepsilon\varepsilon_0S}{h}.\]

Проанализируем, чему может быть равна площадь растёкшейся капельки в зависимости от постоянного напряжения источника \(U\), используя энергетический подход, и докажем сделанные выше утверждения. Напряжение источника можно считать постоянным, так как по условию оно изменяется плавно. Рассмотрим систему, состоящую из источника, конденсаторов и растёкшейся капельки. Найдём, как энергия системы зависит от площади растёкшейся капельки: \[W = W_\text{ист} + W_\text{конд} + W_\text{пов} = -qU + \frac{q^2}{2C_0} + 2\sigma S,\] где \(q\) — заряд, протёкший через источник, \(C_0\) — общая ёмкость системы трёх конденсаторов, \(\sigma\) — коэффициент поверхностного натяжения.

Здесь энергия \(W_\text{ист} = -qU = -C_0U^2\), так как при зарядке конденсаторов через источник протекает заряд \(q = C_0U\) и запасённая в источнике энергия уменьшается.

Общая ёмкость системы трёх конденсаторов, когда опорный \(C\) соединён последовательно с конденсатором Глюка (который представляет собой параллельное соединение \(C_1\) и \(C_2\)): \[C_0 = \frac{C(C_1 + C_2)}{C + C_1 + C_2}.\] Для удобства будем выражать энергию поверхностного натяжения не через площадь, а через ёмкость \(C_2\): \[W_\text{пов} = 2\sigma S = \frac{2\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}C_2.\] Тогда зависимость энергии системы от ёмкости \(C_2\) (по сути, от площади растёкшейся капли) описывается выражением: \[W(C_2) = -\frac{C(C_1 + C_2)U^2}{2(C + C_1 + C_2)} + \frac{2\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}C_2.\] В равновесии значение \(C_2\) будет таким, чтобы энергия системы была минимальна. Найдём, при каком значении \(C_2\) будет минимум, используя производную и приравнивая её нулю: \[W' = -\frac{C^2U^2}{2(C + C_1 + C_2)^2} + \frac{2\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0} = 0.\] Отсюда находим, что в случае расплющенной капли ёмкость образованного ею конденсатора \(C_2\) зависит от напряжения источника \(U\) как \[C_2 = CU\sqrt{\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{4\sigma h}} - C - C_1.\] Так как вторая производная всегда положительна, найденная точка действительно минимум: \[W'' = \frac{C^2U^2}{(C + C_1 + C_2)^3} > 0.\] Заметим, что значение \(C_2\) (и площади \(S\)) больше либо равно нуля при \[U \geqslant 2\frac{C + C_1}{C}\sqrt{\frac{\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}} = U_1.\] Поведение системы устроено следующим образом. При напряжениях источника от \(0\) до \(U_1\) минимум энергии системы соответствует нулевой площади растёкшейся капельки, а конденсатор Глюка имеет постоянную ёмкость \(C_1\). При напряжениях источника \(U > U_1\) растёкшаяся капелька имеет площадь такую, что ёмкость \(C_2\) можно вычислить по указанной выше формуле. Напряжение на конденсаторе Глюка постоянно: \[U_\text{Глюк} = \frac{C_0U}{C_1 + C_2} = \frac{CU}{C + C_1 + C_2} = \sqrt{\frac{4\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}} = \frac{2}{3}U_1 = \text{const}.\] Напряжение на опорном конденсаторе при напряжении на источнике \(U = 2U_1\) равно \[U_C = U - U_\text{Глюк} = 2U_1 - \frac{2}{3}U_1 = \frac{4}{3}U_1.\]

Для определения коэффициента поверхностного натяжения воспользуемся найденным выше напряжением \[U = 2\sqrt{\frac{\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}} = \frac{2}{3}U_1.\] Отсюда \[\sigma = \frac{\varepsilon\varepsilon_0U_1^2}{9h} \approx 0{,}479\text{ Н/м}.\] Очень похоже на то, что Глюк использовал ртуть!