Резисторы и конденсаторы

В установившемся режиме через конденсаторы ток не идёт, поэтому потенциалы B и C находятся из цепи одних резисторов. Потенциалы внутри конденсаторной сети определяются потенциалами её границы, а заряд на узле D равен нулю.

1) \(\varphi_B=\dfrac{8}{13}U\),  \(\varphi_C=\dfrac{11}{13}U\);  2) \(\varphi_D=\dfrac{49}{78}U\).

i) Когда потенциалы установились, ток через конденсаторы не идёт, поэтому цепь из резисторов можно анализировать, фактически отрезав все конденсаторы. Получаем следующую эквивалентную схему.

Анализировать её можно с помощью законов последовательного и параллельного соединения. Сопротивление трёх резисторов между точками \(X\) и \(C\) равно \[R_{XC}=\frac{1}{R^{-1}+(2R)^{-1}}=\frac23R.\] Тогда сопротивление цепи между \(X\) и \(B\) равно \(R_{XB}=\dfrac{1}{(R_{XC}+R)^{-1}+R^{-1}}=\dfrac58R\). Следовательно, потенциалы \[\varphi_B=\frac{R}{R_{XB}+R}\,U=\frac{8}{13}U,\qquad \varphi_C=\varphi_B+\frac{R}{R_{XC}+R}\,(U-\varphi_B)=\frac{11}{13}U.\]

ii) Установившиеся потенциалы внутри конденсаторной сети полностью определяются потенциалами на её границе. Поэтому теперь мы можем анализировать конденсаторную сеть отдельно (представляя, что все резисторы перерезаны, но есть внешние источники напряжения). Она эквивалентна следующей схеме.

С помощью законов параллельного и последовательного соединения конденсаторов она упрощается ещё больше.

Область, обведённая пунктиром, не содержит заряда, поэтому (так как \(q=CU\) и \(\varphi_A=0\)) \[\frac12C(\varphi_D-\varphi_A)+\frac32C(\varphi_D-\varphi_C)+C(\varphi_D-\varphi_B)=0,\] \[\varphi_D=\frac16(\varphi_A+2\varphi_B+3\varphi_C)=\frac16(2\varphi_B+3\varphi_C),\qquad \varphi_D=\frac{49}{78}U.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.