Стабилитрон

Стабилитрон ограничивает напряжение на катушке значениями \(V_1\) и \(-V_2\), поэтому за период ток катушки почти не меняется. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке равно нулю — отсюда баланс времён, в течение которых к ней приложены \(V_1\) и \(-V_2\).

1) \(\langle I\rangle=I_0\cos\dfrac{\pi V_2}{V_1+V_2}\);  2) \(\Delta I=\dfrac{2\pi V_1V_2}{\omega L(V_1+V_2)}\).

i) Стабилитрон ограничивает максимальное напряжение, которое может быть приложено к катушке. Всякий раз, когда ток от источника больше тока через катушку, к катушке приложено напряжение \(V_1\), а когда ток источника меньше тока через катушку, к катушке приложено напряжение \(-V_2\). Если бы наибольшее напряжение \(V_1\) было приложено к катушке в течение целого периода \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\), то изменение тока через катушку составило бы \[\delta I=\frac{V_1}{L}\,T=\frac{2\pi V_1}{L\omega}.\] Так как выполняется соотношение \(L\omega I_0\gg V_1\), получаем \(\delta I\ll I_0\). Ток через катушку за один период меняется пренебрежимо мало по сравнению с \(I_0\) и может считаться постоянным. Равновесный ток можно найти из условия, что среднее напряжение равно нулю. Пусть в течение периода \(T_1\) — время, когда \(\langle I\rangle>I_0\cos\omega t\), а \(T_2\) — время, когда \(\langle I\rangle<I_0\cos\omega t\). Получаем \[T_1=\frac2\omega\arccos\!\left(\frac{\langle I\rangle}{I_0}\right).\] Среднее напряжение равно нулю при \(V_1T_1=V_2T_2\), и, используя \(T_1+T_2=T\), имеем \[V_1T_1=V_2(T-T_1)\ \Longrightarrow\ T_1=\frac{V_2}{V_1+V_2}\,T\ \Longrightarrow\ \frac2\omega\arccos\!\left(\frac{\langle I\rangle}{I_0}\right)=\frac{V_2}{V_1+V_2}\,\frac{2\pi}{\omega}\ \Longrightarrow\ \langle I\rangle=I_0\cos\!\left(\frac{\pi V_2}{V_1+V_2}\right).\]

ii) Размах колебаний тока можно вычислить из \(\dfrac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=\dfrac UL\): \[\Delta I=\frac{V_2T_2}{L}=\frac{V_1T_1}{L}=\frac{2\pi V_1V_2}{\omega L(V_1+V_2)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.