Балки

Плиты жёсткие, поэтому у всех балок после нагрева одинаковая длина: нагретая средняя балка уже «растянулась» на \(\alpha\Delta T\) без нагрузки, и её упругая деформация меньше. Максимальная нагрузка достигается, когда деформация самой нагруженной балки равна \(\beta\).

1) \(\dfrac{2\epsilon+\beta}{3\beta}\approx0{,}83\) от первоначального максимума;  2) \(\Delta T=T\approx420\,^\circ\)C.

i) Средняя балка расширяется на \(\alpha\Delta T=0{,}10\,\%\) из-за повышения температуры. Все балки находятся между жёсткими опорными плитами, поэтому в конце все должны иметь одинаковую длину. Так как средняя балка расширилась, в предельном случае, когда приложена максимальная нагрузка, деформация средней балки равна \(\beta\). Две другие балки имеют деформацию \(\epsilon=\beta-\alpha\Delta T\), так как они из-за температуры не расширялись. Сила, создаваемая каждой балкой, пропорциональна её деформации, поэтому отношение максимально допустимых весов можно найти как отношение суммы деформаций в двух случаях. В случае одинаковых температур каждая балка при максимальной нагрузке имеет деформацию \(\beta\). Значит, доля нового максимального веса по сравнению с первоначальным случаем равна \[\frac{2\epsilon+\beta}{3\beta}=\frac{2\times0{,}30+0{,}40}{3\times0{,}40}\approx0{,}83.\]

ii) Обозначим через \(\epsilon_1\) деформацию средней балки, а через \(\epsilon_2\) — деформацию внешних балок. Как и в предыдущей части задачи, конечные длины балок должны быть одинаковы. Учитывая расширение средней балки, должно выполняться \[\epsilon_1-\alpha\Delta T=\epsilon_2.\] Обозначим через \(E_0\) модуль Юнга при температуре \(T=0\,^\circ\)C. При этой температуре максимально допустимая сила равна \(3SE_0\beta\) (\(S\) — площадь каждой из балок), поскольку деформация каждой балки равна \(\beta\). Значит, 20 % от максимальной нагрузки создают силу \[F_1=0{,}2\times3SE_0\beta=0{,}6\,SE_0\beta.\] В общем случае сила, создаваемая балками при любой температуре, равна \[F=SE(T)\epsilon_1+2SE_0\epsilon_2.\] Максимальную силу можно найти, положив \(\epsilon_1=\beta\) и подставив \(\epsilon_2\) из приведённого выше выражения: \[F_{\max}=SE(T)\beta+2SE_0(\beta-\alpha\Delta T).\] Решая \(F_{\max}=F_1\), можно найти искомую температуру. Получаем \[SE(T)\beta+2SE_0(\beta-\alpha\Delta T)=0{,}6\,SE_0\beta\quad\to\quad E(T)=\frac{2\alpha}{\beta}E_0\Delta T-1{,}4E_0.\] Это прямая, представляющая то, каким должен быть модуль Юнга, чтобы при повышении температуры средней балки на \(\Delta T\) система могла выдержать максимум 20 % от первоначального максимального веса. Построив эту прямую на графике модуля Юнга и найдя точку пересечения двух линий, получаем \(\Delta T=420\,^\circ\)C и \(T=420\,^\circ\)C.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.