Биметаллическая пластина

Какой из металлов при нагреве стремится удлиниться сильнее и что мешает ему это сделать, ведь пластинки скреплены по всей длине? Какую форму примет пластина, чтобы обе её стороны получили разные длины?

Из-за разных коэффициентов теплового расширения пластинки двух металлов по-разному удлиняются при нагревании (или сжимаются при охлаждении). А поскольку они спаяны по всей площади контакта, пластине выгоднее согнуться, чем растягивать один и сжимать другой металл. Причём при нагревании внутри изгиба будет пластинка из того металла, который меньше расширяется при нагревании.

Пусть биметаллическая пластина нагрелась на \(\Delta T\). Тогда пластинки, из которых она состоит, удлинятся на \[\Delta l_1 = \alpha_1 \Delta T\, l \quad\text{и}\quad \Delta l_2 = \alpha_2 \Delta T\, l ,\] где \(l\) — первоначальная длина пластинок. Следовательно, для угла \(\varphi\), на который опирается пластина после изгиба, с учётом малой толщины можно записать \[\varphi = \frac{l + \Delta l_1}{R} = \frac{l + \Delta l_2}{R + \Delta h}.\] Отсюда, пренебрегая произведением двух малых величин, находим \[R = \frac{l\,\Delta h}{\Delta l_2 - \Delta l_1} = \frac{\Delta h}{(\alpha_2 - \alpha_1)\,\Delta T}.\]

Величину прогиба пластины \(\Delta x\) можно найти как \[\Delta x = R - R\cos\frac{\varphi}{2}.\] Если угол \(\varphi\) много меньше одного радиана (для реальных пластин это выполнено), то \(\cos\frac{\varphi}{2} \approx 1 - \frac{\varphi^2}{8}\), и формулу можно привести к виду \[\Delta x = \frac{l^2}{8R} = \frac{l^2 (\alpha_2 - \alpha_1)\,\Delta T}{8\,\Delta h}.\] Подставляя в эту формулу данные условия, найдём \(\Delta x \approx 2\) мм.

Величина удлинения пластины составит \[\alpha\, l\, \Delta T \approx 2 \cdot 10^{-1}\ \text{мм},\] т.е. на порядок меньше прогиба.