Объём тела от температуры

Коэффициент расширения пропорционален скорости изменения объёма с температурой, то есть наклону касательной к графику \(V(t)\).

При \(t<t_1\) коэффициент расширения пропорционален температуре (растёт от нуля при \(0\,^\circ\)C); при \(t>t_1\) он постоянен. При \(t=t_1\) коэффициент испытывает скачок (в данном случае уменьшается), в самой точке он не определён.

Что происходит. Коэффициент теплового расширения показывает, на какую долю изменяется объём при изменении температуры на градус: он пропорционален наклону касательной к графику \(V(t)\). Парабола и прямая имеют в точке \(t_1\) разные наклоны, поэтому у коэффициента будет скачок.

Обозначения. \(V_0\) — объём при \(0\,^\circ\)C. Коэффициент \(\beta(t)=\dfrac1{V_0}\dfrac{dV}{dt}\) (так определён обычный коэффициент: \(V=V_0(1+\beta t)\) при постоянном \(\beta\)).

1. Участок \(t<t_1\) (парабола). Вершина параболы лежит при \(0\,^\circ\)C (в начале график идёт горизонтально), поэтому \[V=V_0+bt^2,\qquad \frac{dV}{dt}=2bt,\qquad \beta=\frac{2b}{V_0}\,t .\] Коэффициент пропорционален температуре: растёт от нуля при \(0\,^\circ\)C до \(\beta_1=\dfrac{2bt_1}{V_0}\) у \(t_1\).

2. Участок \(t>t_1\) (прямая). Объём линеен по \(t\), \(V=V_1+k(t-t_1)\), наклон постоянен, поэтому \[\beta=\frac{k}{V_0}=\beta_2=\text{const}.\] На рисунке наклон прямой меньше наклона параболы у точки \(t_1\), значит \(\beta_2<\beta_1\).

3. Точка \(t_1\). Парабола подходит к \(t_1\) с наклоном \(2bt_1\), а прямая начинается с другим наклоном \(k\): график \(V(t)\) имеет излом, касательной в этой точке нет. Значит, производная, а с ней и коэффициент расширения, при \(t=t_1\) не существует: слева у него предел \(\beta_1\), справа \(\beta_2\ne\beta_1\) (скачок). У вещества, которое так себя ведёт, при \(t_1\) меняется характер расширения (как при фазовом переходе второго рода).

Обратите внимание: если определять коэффициент через текущий объём, \(\dfrac1V\dfrac{dV}{dt}\), то при \(t>t_1\) он плавно убывает как \(\dfrac{k}{V}\), а не остаётся постоянным; но качественный вывод тот же: скачок при \(t_1\) есть, при \(t<t_1\) коэффициент растёт с температурой.

Ответ: при \(t<t_1\) коэффициент расширения \(\propto t\); при \(t>t_1\) постоянен; при \(t=t_1\) терпит скачок и не определён.

Проверка. Размерность \(\beta\): \(1/{}^\circ\mathrm{C}\). При \(t\to0\) \(\beta\to0\) — вершина параболы горизонтальна, и объём вначале почти не меняется.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.