Подставка и пружина

Подставка оторвётся, когда сила её давления на тело станет равной нулю. После отрыва тело будет колебаться на пружине.

\(t=\sqrt{\dfrac{2m(g-a)}{ka}}\) (при \(a<g\)); максимальное растяжение пружины \(x_{\max}=\dfrac{m}{k}\Bigl(g+\sqrt{a(2g-a)}\Bigr)\).

Что происходит. Пока подставка касается тела, они движутся вместе с ускорением \(a\) вниз, пружина растягивается, а сила давления подставки уменьшается. В момент, когда эта сила обращается в нуль, подставка уходит вниз быстрее тела и контакт прекращается. После отрыва тело колеблется на пружине в поле тяжести; максимальное растяжение найдём из закона сохранения энергии (или как положение равновесия плюс амплитуда).

Обозначения. Ось \(x\) направим вниз, начало — положение тела при нерастянутой пружине. \(x\) — растяжение пружины, равное смещению тела. Предполагаем \(a<g\): иначе подставка уходила бы от тела сразу.

1. Момент отрыва. Пока контакт есть, тело движется с ускорением подставки \(a\). Запишем второй закон Ньютона для тела в проекции на ось \(x\): \(ma=mg-N-kx\), где \(N\) — сила реакции подставки, \(kx\) — сила упругости пружины. В момент отрыва \(N=0\): \[ma=mg-kx_1\quad\Longrightarrow\quad x_1=\frac{m(g-a)}{k}.\] Тело и подставка движутся вместе из состояния покоя с ускорением \(a\) (пружина вначале нерастянута, поэтому растяжение равно смещению), и к моменту отрыва \[x_1=\frac{at^2}{2}.\]

2. Время. Приравняем два выражения для \(x_1\): \(\dfrac{at^2}{2}=\dfrac{m(g-a)}{k}\), отсюда \[t=\sqrt{\frac{2m(g-a)}{ka}} .\] Скорость тела в момент отрыва \(v_1=at\), значит \(v_1^2=2ax_1=\dfrac{2am(g-a)}{k}\).

3. Движение после отрыва. Теперь на тело действуют только тяжесть и пружина, без подставки. Ускорение тела \(g-kx/m\) при \(x_1\) равно \(a\) и дальше убывает, так что подставка с ускорением \(a\) убегает вперёд — повторного контакта нет. Положение равновесия тела \(x_0=\dfrac{mg}{k}\). Движение — гармонические колебания около \(x_0\) с частотой \(\omega^2=\dfrac km\). Величина \(x_1<x_0\): в момент отрыва тело выше положения равновесия на \(x_0-x_1=\dfrac{ma}{k}\) и летит вниз со скоростью \(v_1\).

4. Амплитуда. В момент отрыва смещение тела от положения равновесия \(\xi_1=x_1-x_0=-\dfrac{ma}{k}\), скорость \(v_1\). Для гармонических колебаний амплитуда связана со смещением и скоростью соотношением \[A^2=\xi_1^2+\frac{v_1^2}{\omega^2}=\frac{m^2a^2}{k^2}+\frac{2am(g-a)}{k}\cdot\frac mk=\frac{m^2}{k^2}\bigl(a^2+2ag-2a^2\bigr)=\frac{m^2}{k^2}\,a(2g-a).\] Отсюда \(A=\dfrac mk\sqrt{a(2g-a)}\).

5. Максимальное растяжение. Это положение равновесия плюс амплитуда: \[x_{\max}=x_0+A=\frac{mg}{k}+\frac mk\sqrt{a(2g-a)}=\frac mk\Bigl(g+\sqrt{a(2g-a)}\Bigr).\] Второе значение \(x_0-A\) — наименьшее растяжение при колебаниях.

Обратите внимание: максимальное растяжение — не \(mg/k\) и не \(2mg/k\): тело проскакивает положение равновесия, потому что приходит к нему с ненулевой скоростью.

Ответ: \(t=\sqrt{\dfrac{2m(g-a)}{ka}}\); \(x_{\max}=\dfrac{m}{k}\Bigl(g+\sqrt{a(2g-a)}\Bigr)\).

Проверка. При \(a\to0\) время \(t\to\infty\) (подставка опускается бесконечно медленно) и амплитуда обращается в нуль: тело спокойно ложится на равновесие \(x_{\max}=mg/k\). При \(a=g\) отрыв сразу (\(t=0\)), тело падает с нерастянутой пружины, и \(x_{\max}=2mg/k\): формула даёт \(\dfrac mk(g+g)\), как у груза, отпущенного на нерастянутой пружине.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.