Цепочка пружинок

Какую силу растягивает пружинка, стоящая в цепочке на \(p\)-м месте? Сколько пружинок висит под ней?

\(\Delta=\dfrac{n(n-1)}{2}\,\dfrac{mg}{k}\), где \(n\) — число пружинок в цепочке.

Что происходит. Пружинки соединены последовательно, и растяжение цепочки есть сумма растяжений отдельных пружинок. Каждую пружинку растягивает вес всего, что висит ниже неё, поэтому верхние растянуты сильнее нижних. Главная идея: найти силу в каждой пружинке по второму закону Ньютона для висящей под ней части цепочки и сложить удлинения.

Обозначения. В цепочке \(n\) пружинок. Нумеруем снизу вверх: нижняя — первая, верхняя — \(n\)-я. \(x_p\) — растяжение \(p\)-й пружинки.

1. Сила в \(p\)-й пружинке. Всё неподвижно. Рассмотрим часть цепочки, лежащую ниже \(p\)-й пружинки: это \(p-1\) пружинок общей массой \((p-1)m\). Они в равновесии: сила упругости \(p\)-й пружинки, направленная вверх, уравновешивает их вес, \[F_p=(p-1)\,mg .\] Собственный вес пружинки по условию на её растяжение не влияет, он учитывается только как нагрузка на пружинки выше неё.

2. Растяжение \(p\)-й пружинки. Закон Гука: \(F_p=kx_p\), откуда \[x_p=\frac{(p-1)\,mg}{k}.\] Для нижней пружинки \(x_1=0\), для второй \(x_2=mg/k\) и так далее.

3. Суммарное растяжение. Складываем растяжения всех \(n\) пружинок: \(1+2+\ldots+(n-1)\) даёт \(\dfrac{n(n-1)}{2}\), значит \[\Delta=\sum_{p=1}^{n}x_p=\frac{mg}{k}\bigl(0+1+2+\ldots+(n-1)\bigr)=\frac{n(n-1)}{2}\,\frac{mg}{k}.\]

Ответ: \(\Delta=\dfrac{n(n-1)\,mg}{2k}\).

Проверка. Размерность: \(mg/k\) — сила, делённая на жёсткость, то есть длина. При \(n=2\) получаем \(mg/k\): верхняя пружинка держит одну нижнюю, как и должно быть. Предел большого \(n\): цепочка из \(n\) пружинок эквивалентна пружине жёсткостью \(k/n\) и массой \(nm\); однородная тяжёлая пружина растягивается собственным весом на половину того, что дал бы тот же груз на конце: \(\dfrac12\cdot\dfrac{nmg}{k/n}=\dfrac{n^2mg}{2k}\), а наша формула при большом \(n\) даёт то же.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.